直线的倾斜角和斜率、直线的方程
一. 教学内容：
直线的倾斜角和斜率、直线的方程
二. 本周教学重、难点：
1. 重点：
直线的倾斜角和斜率的概念、直线方程的几种重要形式。
2. 难点：
斜率的概念的学习，过两点直线的斜率公式的建立，直线方程的应用。
【典型例题】
[例1]（1）已知M（
，3），N（2，15）若直线
的倾斜角是MN的一半，求的斜率
解：
设的倾斜角为
∴ 
∴ 
∵ 
∴ 
（2）过P（
，
）的直线与
轴的正半轴没有公共点，求的倾斜角的范围。
解：
∴ 
∴ 
（3）若直线的斜率
则直线的倾斜角的取值范围是什么？
解：∵
∴ 
[例2] 过点P（1，4）作直线与两坐标轴正向相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线方程。
解：设
（
，
）
∵ 过P（1，4） ∴ 
∴ 
当
∴ 
时，
∴ 
即
[例3] 在
中，A（2，8），B（，0），C（5，0）求过B且将面积分成
的直线方程。
解：设交AC于P点，则（1）
；（2）
（1）当时，P（
，）满足
∴ ：
即
（2）当时，P（x，y）满足
∴ ：
即
[例4] 设P1（x1，y1），P2（
，
）：
，求与直线
的交点P（不过P2）分
的比。
解：设P分的比为
，则P（
，
）
∵ 
∴ 
∴ 
∵ 
∴ 
当
时，P1，P2在同侧 当
时，P1，P2在异侧
[例5] 过点（
，）作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个平方单位，求直线的方程。
解：设直线的方程为
∵ 过点（，） ∴
即
又直线与两坐标轴围成三角形面积为5
∴ 
则
∴ 
∴ 
或
∴ 的方程为：
或
[例6] 求经过点A（
，
）且在坐标轴上截距为相反数的直线的方程。
解：
（1）当在坐标轴上截距都不为零时，设方程为
将A（，）代入上式有
，解得
∴ 所求直线方程为
（2）当在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为
将A（，）代入方程得
，即
∴ 
即
[例7] 已知的一个顶点A（，2）两条中线所在直线方程为
和
，求各边所在直线的方程。
解：∵ A（，2）不在这两条中线上
∴ 这两条中线应是边AB和AC上的中线
解
得
∴ 的重心G（
，2）
设B（，）C（
，
） 则
∴ 
不妨设B在中线上，点C在中线上
∴ 
联立（1）（2）（3）（4）解得
即B（2，4）C（4，0）
∴ AB边所在直线方程为
即
AC边所在直线方程为
即
BC边所在直线方程为
即
若调换B、C的位置，则BC边所在直线的方程不变，AB与AC的方程互换
[例8] 过定点P（2，1）作直线，分别与轴、轴正向交于A、B两点，求使
面积最小时的直线方程。
解：显然所求的斜率存在且小于0，设其为
（
）则为
令
得A（
，0）令
得B（0，
）
∴ 
其中，
当且仅当
即
时，
的最小值为4
此时
的最小值为
∴ 所求直线方程为
即
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择：
1. 已知直线的倾斜角为
，则直线的斜率是（ ）
A. 
B. C. 
D. 
2. 已知的斜率
，那么的倾斜角为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
3. 直线的倾斜角的正弦值为
，则的斜率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 若直线过（
，9），（
，
）两点，则的倾斜角为（ ）
A. 
B. C. 
D. 
5. 已知A（，
），B（3，0）且AB的斜率为
，则的值是（ ）
A. 1 B. C. 
D. 0
6. 直线的倾斜角为，且
，则的斜率的范围是（ ）
A. 
B.
C. 
或
D.
或
7. 已知一直线倾斜角为
，且直线过（，）则直线方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
8. 经过两点（，1），（3，9）的直线在轴上的截距是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 2
二. 填空：
1. 经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则
的取值范围是 。
2. 在轴上的截距为
，且与轴相交成角的直线方程为 。
3. 若方程
表示一条直线，则
。
4. 已知直线
在轴上的截距为3，则在轴上的截距为 。
三. 解答题：
1. 过P（，）的直线与轴，轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线的斜率和倾斜角。
2. 已知与
的倾斜角相等，且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求的方程。
3. 过点P（4，2）作分别交轴，轴正半轴于A、B两点，当面积最小时，求直线的方程。
【试题答案】
一.
1. B 2. D 3. C 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A
二.
1.（
，）
2. 
3. 
4. 
三.
1.
解：设A、B两点的坐标分别为（
，0）和（0，
）
∵ 
的中点坐标为（，）
∴ 
即
∴ 
倾斜角为
2.
解：直线的斜率为
∵ 与的倾斜角相等
∴ 的斜率为
设的方程为
，的横截矩为
∵ 与两坐标轴围成三角形面积为24
∴ 
即
∴ ：
3.
解：设的方程为（，）
∵ 
在上 ∴ 
∵ 
当
时，取“=” ∴ 
，
时，
最小