直线综合
一. 教学内容：
直线综合
二. 重点、难点：
1. 直线系
（1）平行直线系
（
为常数，
为参数）
（2）过定点直线系
或
（
，
为常数，为参数）
（3）与
：
平行直线系 
（为参数）
（4）与：垂直的直线系：
（为参数）
（5）过直线
：
，
：
交点的直线系：
（
为参数）（不包含）
2. 对称
P（
，）关于点
（，）的对称点为：Q（
，
）
P（，）关于
轴的对称点为Q（
，
）
P（，）关于
轴的对称点为Q（
，）
P（，）关于
的对称点为Q（
，）
P（，）关于
的对称点为Q（，
）
P（，）关于
的对称点为Q（，）
P（，）关于
的对称点为Q（，）
【典型例题】
[例1] 求点A（
，4）关于直线：
的对称点。
解：
设A关于的对称点B（，）
∴ B（
，
）
[例2] ：
，：
，求关于对称的直线的方程。
解：
A（0，1）在点，它关于的对称点，B（
，
）
由两点式 ∴ ：
[例3] 光线通过点P（2，3）在直线
上反射，反射线过点Q（1，1），求入射光线、反射光线所在直线方程。
解：
（2，3）点关于直线
的对称点，
（，）
由两点式
：
交点（
，
）
由两点式
：
[例4] 正
中A（1，1），中心M（5，3），求三边所在直线方程。
解：
∴ 
AM交于BC于D，M分
之比
∴ D=（7，4） ∴
：
设AB、AC为：
∴ 
[例5] 
ABC中，A（9，1），B（3，4），内心I（4，1），求C
解：
AI∥轴 ∴
∴ 
：
利用三角公式 ∴
∴ ：
∴ C（，4）
[例6] 已知中，A（
，2）B（6，4）垂心H（5，2），求C
解：
∴ 
不存在 ∴ 
∴ 
∴ ：
C（6，
）
[例7] 已知，A（6，3），B（，
），C（
，
）求
。
解：
作图，
为BC到HC的角 ∴ 
∴ 
∴ 
[例8] 中，AB、BC、CA边的中点为D（
，）E（1，3）F（2，0），求三边所在直线方程。
解：
∴ 
：
即
同理：
：
[例9] ，A（
，
）、B（6，
）、C（，），求
的角平分线AT所在直线方程。
解：
设斜率为 
CA到AT的角等于AT到AB的角
或
（舍，结合图形）
∴ 
：
[例10] 中，A（，）两条中线所在直线方程为，
，求BC边所在直线方程。
解：
G（
，2） G分之比 ∴ D（
，5）
设B（，） ∴ C（
，
）
∴ 两点式：
【模拟试题】
1. 直线：
，：
的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2. 已知
，则
的最小值为（ ）
A. 68 B. 69 C. 70 D. 71
3. 过A（2，）与原点距离最远的直线方程为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
4. 已知A（3，5）B（2，15）在直线：
上，找一点P使
最小，则最小值为（ ）
A. 18 B. 
C. 19 D. 
5. 已知
，
的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 
D.
6. 两直线：
，和：
，当
（0，2）时，求直线与两坐标轴围成四边形面积的最小值。
【试题答案】
1. B 2. D 3. A 4. B 5. C
6.
解：
交轴于A（0，
） 交轴于B（
，0）
∴ 
（0，2）时 
