高考数学统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题
（1）
是第四象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）设
是实数，且
是实数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）已知向量
，
，则
与
（ ）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为，焦点是
，
，则双曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
（5）设
，集合
，则
（ ）
A． B．
C． D．
（6）下面给出的四个点中，到直线
的距离为
，且位于
表示的平面区域内的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
（7）如图，正四棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C．
D．
（8）设
，函数
在区间
上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A．
B． C．
D．
（9）
，
是定义在
上的函数，
，则“，均为偶函数”是“
为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
（10）
的展开式中，常数项为
，则
（ ）
A．
B． C．
D．
（11）抛物线
的焦点为
，准线为
，经过且斜率为
的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点，
，垂足为
，则
的面积是（ ）
A． B．
C．
D．
（12）函数
的一个单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
（14）函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
．
（15）等比数列
的前项和为
，已知
，
，
成等差数列，则的公比为 ．
（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形
的内角
的对边分别为
，
．
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）求
的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数
的分布列为
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
| 0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．
表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（Ⅱ）求的分布列及期望
．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥
中，底面
为平行四边形，侧面
底面．已知
，
，
，
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数
．
（Ⅰ）证明：的导数
；
（Ⅱ）若对所有
都有
，求的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
．过的直线交椭圆于
两点，过的直线交椭圆于
两点，且
，垂足为
．
（Ⅰ）设点的坐标为
，证明：
；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
（22）（本小题满分12分）
已知数列中
，
，
．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列
中
，
，，
证明：
，．
高考数学统一考试
理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题：
（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C
（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得
，所以
，
由
为锐角三角形得
．
（Ⅱ）
．
由为锐角三角形知，
，
．
，
所以
．
由此有
，
所以，的取值范围为
．
（18）解：
（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，
．
（Ⅱ）的可能取值为
元，
元，
元．
，
，
．
的分布列为
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（元）．
（19）解法一：
（Ⅰ）作
，垂足为
，连结
，由侧面
底面，得
底面．
因为
，所以
，
又，故
为等腰直角三角形，
，
由三垂线定理，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设
，
故
，由
，
，
，得
，
．
的面积
．
连结
，得
的面积
设
到平面的距离为
，由于
，得
，
解得
．
设与平面所成角为，则
．
所以，直线与平面
所成的我为
．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，
．
如图，以为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系
，
，
，
，
，
，
，
，所以．
（Ⅱ）取
中点
，
，
连结
，取中点
，连结
，
．
，
，
．
，
，与平面内两条相交直线，垂直．
所以
平面，
与
的夹角记为，与平面所成的角记为
，则与互余．
，
．
，
，
所以，直线与平面所成的角为．
（20）解：
（Ⅰ）的导数
．
由于
，故．
（当且仅当
时，等号成立）．
（Ⅱ）令
，则
，
（ⅰ）若
，当
时，
，
故在
上为增函数，
所以，时，
，即．
（ⅱ）若
，方程
的正根为
，
此时，若
，则
，故在该区间为减函数．
所以，时，
，即
，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是
．
（21）证明：
（Ⅰ）椭圆的半焦距
，
由
知点在以线段
为直径的圆上，故
，
所以，
．
（Ⅱ）（ⅰ）当
的斜率存在且
时，的方程为
，代入椭圆方程，并化简得
．
设
，
，则
，
；
因为
与
相交于点，且的斜率为
，
所以，
．
四边形的面积
．
当
时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率
或斜率不存在时，四边形的面积
．
综上，四边形的面积的最小值为
．
（22）解：
（Ⅰ）由题设：
，
．
所以，数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
，
即
的通项公式为
，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当
时，因
，
，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当
时，结论成立，即
，
也即
．
当
时，
，
又
，
所以 
．
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．