高考数学统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
（1）设
，
，则
（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（2）
是第四象限角，
，
（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（3）已知向量
，
，则
与
（ ）
Ａ．垂直 Ｂ．不垂直也不平行 Ｃ．平行且同向 Ｄ．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为
，焦点是
，
，则双曲线方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（5）甲、乙、丙
位同学选修课程，从
门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（ ）
Ａ．
种 Ｂ．
种 Ｃ．
种 Ｄ．
种
（6）下面给出四个点中，位于
表示的平面区域内的点是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（7）如图，正四棱柱
中，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（8）设
，函数
在区间
上的最大值与最小值之差为
，则
（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
（9）
，
是定义在
上的函数，
，则“，均为偶函数”是“
为偶函数”的（ ）
Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件
Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件
（10）函数
的一个单调增区间是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（11）曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（12）抛物线
的焦点为
，准线为
，经过且斜率为
的直线与抛物线在
轴上方的部分相交于点，
，垂足为
，则
的面积是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．
（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取
袋，测得各袋的质量分别为（单位：
）：
| 492 | 496 | 494 | 495 | 498 | 497 | 501 | 502 | 504 | 496 |
| 497 | 503 | 506 | 508 | 507 | 492 | 496 | 500 | 501 | 499 |
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．
（14）函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，则
____________．
（15）正四棱锥
的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_________．
（16）等比数列
的前n项和为
，已知
，
，
成等差数列，则的公比为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若
，
，求b．
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面
底面ABCD，已知
，
，
，
．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数
在
及
时取得极值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的
，都有
成立，求c的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
设是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n项和．
（22）（本小题满分12分）
已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且
，垂足为P．
（Ⅰ）设P点的坐标为
，证明：
；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
高考数学统一考试
文科数学试题（必修＋选修1）参考答案
一、选择题
1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ
10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）由，根据正弦定理得
，所以
，
由
为锐角三角形得
．
（Ⅱ）根据余弦定理，得
．
所以，
．
18．解：
（Ⅰ）记表示事件：“位顾客中至少
位采用一次性付款”，则
表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，
．
（Ⅱ）记
表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过
元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则
．
，
．
．
19．解法一：
（1）作
，垂足为
，连结
，由侧面
底面
，得
底面．
因为
，所以
，
又
，故
为等腰直角三角形，
，
由三垂线定理，得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
依题设
，
故
，由
，
，
．
又
，作
，垂足为
，
则
平面
，连结
．
为直线
与平面所成的角．
所以，直线与平面所成的角为
．
解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，
．
如图，以为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系
，
因为
，
，
又，所以
，
，
．
，
，
，
，所以．
（Ⅱ）
，
.
与
的夹角记为，与平面
所成的角记为
，因为为平面的法向量，所以与互余．
，
，
所以，直线与平面所成的角为．
20．解：
（Ⅰ）
，
因为函数在及取得极值，则有
，
．
即
解得
，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，．
所以，当时，取得极大值
，又
，
．
则当
时，的最大值为．
因为对于任意的，有恒成立，
所以 
，
解得 
或
，
因此
的取值范围为
．
21．解：
（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为
，则依题意有
且
解得
，
．
所以
，
．
（Ⅱ）
．
，①
，②
②－①得
，
．
22．证明
（Ⅰ）椭圆的半焦距
，
由
知点在以线段
为直径的圆上，
故
，
所以，
．
（Ⅱ）（ⅰ）当
的斜率存在且
时，的方程为
，代入椭圆方程，并化简得
．
设
，
，则
，
，
；
因为
与
相交于点
，且的斜率为
．
所以，
．
四边形的面积
．
当
时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率
或斜率不存在时，四边形的面积
．
综上，四边形的面积的最小值为
．