高考数学统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
注意事项：
1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．
2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．
6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面积公式
如果事件相互独立，那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中事件恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的一个单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列四个数中最大的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
中，已知
是
边上一点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知正三棱柱
的侧棱长与底面边长相等，则
与侧面
所成角的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知曲线
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
9．把函数
的图像按向量
平移，得到
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
11．设
分别是双曲线
的左、右焦点，若双曲线上存在点，使
且
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．设
为抛物线
的焦点，
为该抛物线上三点，若
，则
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
的展开式中常数项为
．（用数字作答）
14．在某项测量中，测量结果
服从正态分布
．若在
内取值的概率为0.4，则在
内取值的概率为
．
15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为
cm
．
16．已知数列的通项
，其前项和为
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，已知内角
，边
．设内角
，周长为
．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
侧棱
底面
分别为
的中点．
（1）证明
平面
；
（2）设
，求二面角
的大小．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系
中，以
为圆心的圆与直线
相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与
轴相交于两点，圆内的动点
使
成等比数列，求
的取值范围．
21．（本小题满分12分）
设数列
的首项
．
（1）求的通项公式；
（2）设
，证明
，其中为正整数．
22．（本小题满分12分）
已知函数
．
（1）求曲线在点
处的切线方程；
（2）设
，如果过点
可作曲线的三条切线，证明：
．
理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
评分说明：
1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C
7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．解：（1）的内角和
，由
得
．
应用正弦定理，知
，
．
因为
，
所以
，
（2）因为
，
所以，当
，即
时，取得最大值
．
18．解：（1）记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”，
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则
互斥，且
，故
于是
．
解得
（舍去）．
（2）的可能取值为
．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有
件，故
．
．
．
所以的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
19．解法一：
（1）作
交
于点
，则为的中点．
连结
，又
，
故
为平行四边形．
，又
平面
平面．
所以平面．
（2）不妨设
，则
为等
腰直角三角形．
取
中点
，连结
，则
．
又
平面，所以
，而
，
所以
面
．
取
中点
，连结
，则
．
连结
，则
．
故
为二面角的平面角
．
所以二面角的大小为
．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系
．
设
，则
，
．
取的中点
，则
．
平面平面，
所以平面．
（2）不妨设
，则
．
中点
又
，
，
所以向量
和
的夹角等于二面角的平面角．
．
所以二面角的大小为
．
20．解：（1）依题设，圆的半径
等于原点到直线的距离，
即 
．
得圆的方程为
．
（2）不妨设
．由
即得
．
设
，由成等比数列，得
，
即 
．
由于点在圆内，故
由此得
．
所以的取值范围为
．
21．解：（1）由
整理得 
．
又
，所以
是首项为
，公比为的等比数列，得
（2）方法一：
由（1）可知
，故
．
那么，
又由（1）知
且
，故
，
因此 
为正整数．
方法二：
由（1）可知
，
因为
，
所以 
．
由可得
，
即 
两边开平方得 
．
即 为正整数．
22．解：（1）求函数
的导数；
．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 
．
（2）如果有一条切线过点，则存在
，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．
记 
，
则 
．
当变化时，
变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
 |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
由的单调性，当极大值
或极小值
时，方程
最多有一个实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．