直线、平面、简单几何体综合训练
一. 教学内容：
直线、平面、简单几何体综合训练
【模拟试题】
第I卷（选择题 共60分）
一. 选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（ ）
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 垂直
2. 正三棱锥相邻两侧面所成的角为
，则的取值范围是（ ）
A.（
，
） B.（，
）
C.（，
） D.（，）
3. 已知二面角
的大小为，
和
是两条异面直线，则在下列四个条件中，不能使和所成的角为的是（ ）
A. 
，
B.
，
C. 
， D.
，
4. 已知直线
、
和平面，则
的一个必要不充分条件是（ ）
A. 
，
B.
，
C. ，
D.
、与成等角
5. 如图，ABCD为正方形，点P为平面AC外一点，PD⊥平面ABCD，PD=AD=
，设点C到平面PAB的距离为
，点B到平面PAC的距离为
，则有（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：
① AC⊥BD；② 
是正三角形；③ AB与CD成角；④ AB与平面BCD成角。则其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 若3个平面将空间分成部分，则的值为（ ）
A. 4 B. 4或6 C. 4或6或7 D. 4或6或7或8
8. 正三棱锥
的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 设地球表面积为S，则地球表面上从A地（北纬
，东经
）到B地（北纬，东经
）的最短距离为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
10. 设球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，A与B、A与C的球面距离都为
R，B与C的球面距离为
，则球O在二面角
内的那一部分的体积是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 如下图，在正方体
的侧面
内有一点P到直线
与到直线
的距离相等，则动点P所在曲线的大致形状是（ ）
A. 一条线段 B. 一段椭圆弧 C. 一段抛物线 D. 一段圆弧
12. 如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得正方体相对面上两个数的和都相等的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
第II卷（非选择题 共90分）
13. 在正方体
中，E、F分别是
、DC的中点，直线
与平面ADE所成的角是 。
14. 一直角梯形ABCD，AB⊥AD，AD⊥DC，AB=2，BC=
，CD=1，E为AD中点，沿CE、BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点A、D重合，则这三棱锥的体积等于 。
15. 如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是 （要求：把你认为正确图形的序号都填上）。
16. 已知、
是两个不同的平面，，是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：① 
；② 
；③ 
；④ 。以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：
。
三. 解答题：
17. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为DC边的中点，沿AE将
折起，使二面角
为。
（1）求DE与平面AC 所成角的大小
（2）求二面角
的大小
18. 如图，直三棱柱
中，
，
，D为棱的中点。
（1）求异面直线
与
所成的角；
（2）求证：平面
平面ADC
19. 已知S是
所在平面外一点，O是边AC的中点，
，点P是SA的中点。
（1）求证：
平面ABC
（2）求证：
平面BOP
（3）若是等腰直角三角形，且
，又SC与平面BOP的距离为
，求二面角
的大小。
20. 在棱长为1的正方体中
（1）P、Q分别是
、
上的点且
，
（如图甲）。求证：PQ//平面
（2）M、N分别是
、的中点（如图乙），求直线AM与CN所成的角
（3）E、F分别是AB、BC的中点（如图丙），试问在棱
上能否找到一点H，使
平面
？若能，试确定点H的位置，若不能，请说明理由。
【试题答案】
一.
1—6 DDCDDC 7—12 DDCBCB
二.
13.
14. 
15. ①③⑥ 16. ②③④
①或①③④②
三.
17.
如图甲所示，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图乙，
为二面角的平面角，
，AE⊥平面DMN，又因为
平面
，则平面
平面DMN
图甲 图乙
（1）在平面DMN内，作DO⊥MN于O
∵ 平面AC⊥平面DNM ∴ DO⊥平面AC
连结OE，DO⊥OE，
为DE与平面AC所成的角
如图甲，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2
，
如图乙，在直角三角形DOM中，
，
在直角三角形DOE中，
则
∴ DE与平面AC所成的角为
（2）如图乙，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DF
∵ DO⊥平面AC ∴ DF⊥EC ∴ 
为二面角的平面角
如图甲，作
于F，则
∽
∴ 
如图乙，在
中，
如图甲，
，
在
中，
∴ 二面角的大小为
18. 解法一：
（1）建立如下图所示的平面直角坐标系。
设
，则
（0，0，
），C（0，
，0），C1（0，，），D（，0，），于是
，
。
∵ 
∴ 异面直线与所成的角为
（2）∵ 
，
，
∴ 
，
则
，
∴ 
⊥平面ADC，又
平面
∴ 平面平面
解法二
（1）连结
交于点E，取AD中点F，连结EF，则EF∥C1D
∴ 直线EF与A1C所成的角就是异面直线与所成的角
设 则
中，
直三棱柱中，
面ABC，，则
∵ 
∴ 异面直线与所成的角为
（2）直三棱柱中， ∴ 平面，则
又 
，
，
，则
，于是
∴ 
平面，又 平面
∴ 平面平面ADC
19.
（1）在平面
中，
又
∴ 
即
，
∴ 平面ABC
（2）∵ P是SA的中点，O是AC的中点 ∴ OP∥SC 而
平面BOP
平面BOP ∴ SC∥平面BOP
（3）由SO⊥平面ABC知平面SAC⊥平面ABC
又等腰直角中，BO⊥AC，∴ BO⊥平面SAC
在
中，作OM⊥SC于M，连BM，则BM⊥SC
∴ 
为二面角的平面角
由
，OM⊥OB知，OM⊥平面BOP
∴ OM是SC与平面BOP的距离，
又 
在
中，
∴ 
即二面角的大小为。
20.
（1）证法一：在
上取点
，
上取点Q，使
，由已 知得
∴ 
且
在平面AA1B1B中同理可证1∥AB，且
∴ 
∴ PQ∥P1Q1
又 
平面
∴ 
//平面AA1D1D
证法二：
以D为原点，建立空间直角坐标系，使下列各点的坐标为D1（0，0，1），B1（1，1，1），A1（1，0，1），B（1，1，0），又已知P（
，，1），Q（1，，
），在、上取点P1、Q1，使满足
，
，则由定比分点公式得
，
，∴ 
，
∴ 
∴ PQ//平面AA1D1D
（2）解法一：
取AB中点
，CC1中点
连
、
、
，则
，
∴ 
即为AM与CN所成的角
在
中，
，由余弦定理得
∴ AM与CN所成的角为
。
解法二：
以D为原点建立空间直角坐标系，使下列各点坐标为A（1，0，0），M（1，
，1），N（1，1，），C（0，1，0）
∴ 
，
∴ 
∴ AM与CN所成的角为
（3）解法一：
能找到点H。∵ 
∴ BH在底面的射影为BD，则BH⊥EF恒成立，若BH⊥平面BEF，则HB⊥B1F必成立。设H在BB1C1C内射影为H1，
必成立。
易证
，∴ 
，即H1是CC1中点。
∴ H也必是DD1中点，∴ 这样的点存在且是DD1之中点。
解法二：
以D为原点建立空间直角坐标系，设H坐标为（0，0，
），B1（1，1，0），B（1，1，0），F（，1，0），BH⊥EF恒成立（如解法一）
若BH⊥平面B1EF，则BH⊥B1F。即
又
，
∴ 
即
∴ 
，故存在点H是DD1之中点