直线方程及其应用
一. 教学内容：
直线方程及其应用
【教学要求】
1. 理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练求出直线方程。
2. 掌握两直线平行、垂直的条件；掌握两条直线所成角的公式和点到直线的距离公式。
3. 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单应用。
二. 知识串讲：
（一）基本公式
1. 有向线段
设P1（x1，y1），P2（x2，y2）
P为内分点，λ＞0；P为外分点，λ＜0。
例如：设△ABC，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
2. 直线l的倾斜角α（直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角）
（二）直线方程
1. 直线方程：
（1）点斜式：
y－y0＝k（x－x0）（已知：点P0（x0，y0），斜率k）
（2）斜截式：
y＝kx＋b（已知：斜率k及纵截距b）
（3）两点式：
（4）截距式：
（5）一般式：
Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）
2. 两条直线的位置关系：
（5）夹角θ：按逆时针方向从l1转到l2所成的角，叫做l1到l2的角。
两条直线相交所成的锐角或直角，叫做两条直线的夹角θ。
3. 点到直线的距离公式：
P（x0，y0）是已知点，l：Ax＋By＋C＝0是已知直线，则
4. 对称点：
5. 直线系方程：
（1）过定点（x1，y1）的直线系方程：
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：
系方程：
（三）简单的线性规划
1. 二元一次不等式表示平面区域
一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0）从Ax0＋By0＋C的正、负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的区域。（若C≠0时，可取原点（0，0））
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
2. 线性规划：
I. 基本概念：
（1）线性约束条件：
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x，y的约束条件。
（2）目标函数：
线性目标函数：关于x，y的一次解析式。
（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。
（4）可行域：所有可行解组成的集合。
（5）最优解：使目标函数达到最值的可行解。
（6）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大（小）值问题。
II. 用图解法解线性规划的步骤：
（1）分析并将已知数据列出表格；
（2）确定约束条件；
（3）确定线性目标函数；
（4）画出可行域；
（5）利用线性目标函数，求出最优解；
（6）实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解。
例如：已知动点（x，y）所在区域是如图所示的阴影部分（包括边界），则目标函数z＝x＋2y的最小值和最大值分别为_____________。
解：作直线x＋2y＝0
平移此直线经过第一个点是（1，0）
再往上平移到最后一点为（4，4）
【典型例题】
例1. 
解析：
∴选C
例2. 
解析1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得斜率的范围，进而得到倾斜角的范围。
解析2：
例3. 一条直线经过点P（2，3），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的2倍。
（2）与x，y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小。
解：（1）设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则
例4. 
证明一：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系。
取BC为单位长1，则各点坐标为：
∴AP⊥CP
证明二：以B为坐标原点，直线BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，过D作DF∥BE交AC于F点，取BC为单位长1，则
∴AP⊥CP
说明：数形结合强调的是将代数问题几何化，而解析法则是通过坐标系将几何问题代数化。
例5. 已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，求过点
解：
例6. 
解：
解法1：在直线l1上取一点B（2，0），设点B关于直线l的对称点C的坐标为C（x0，y0）
解法2：
到角公式）：
例7. 
解：
（由三角形两边之差小于第三边）
且为1。
注：
例8. 
A. 只能是（-3，0）
B. 只能是（0，6）
C. 只能是（-3，0）或（0，6）
D. 有无数个
解析：
则平移向量为（-3，0），就可能误选A。
显然（h，k）不唯一确定
∴选D
例9. 
解：
带状区域，但不包括直线x＝1和x＝3上的点。
所以，原不等式组表示的区域如图所示：
例10. 某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15t，已知生产甲产品1t，需煤9t，电力4kW·h，劳动力3个；生产乙产品1t需煤4t，电力5kW·h，劳动力10个。甲产品每1t利润7万元，乙产品每1t利润12万元，但每天用煤不超过300t，电力不超过200kW·h，劳动力只有300个，问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成表：
解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，利润总额为z万元
如图作出可行域，作出一组平行直线7x＋12y＝m（m为参数）中，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线，此直线过4x＋5y＝200和3x＋10y＝300的交点A（20，24），即生产甲、乙两种产品分别为20t、24t时，利润总额最大，
【模拟试题】
一. 选择题。
1. 直线
经过二、三、四象限，的倾斜角为
，斜率为k，则（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2. 经过点（10，
）且倾斜角的余弦值为
的直线方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 直线过点P（1，2）且与两坐标轴围成等腰三角形，则的方程为（ ）
A. 
B.
或
C. D.
或
4. 已知两条直线
，其中a为实数，当这两条直线的夹角在
内变动时，a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 
5. 点A（4，5）关于直线的对称点为
，则的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 在约束条件
下，目标函数
（ ）
A. 
B.
C. 
D.
二. 填空题。
7. 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（
，3），则反射点P的坐标为__________。
8. 已知过点
及Q（0，b）的直线的倾斜角介于120°与150°之间，则b的取值范围是______________。
9. 如果直线
与直线
平行，那么系数a等于__________。
10. 如果直线
与直线
互相垂直，那么a的值为________。
11. 直线过点（2，1），且原点到的距离是1，则的方程是________________。
三. 解答题。
12. 如图，已知△ABC的三边方程分别为
，BC：
，CA：
，求：
（1）∠B的大小；
（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程；
（3）AB边上的高所在直线的方程。
13. 若一直线被直线
和
截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线的方程。
14. 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行。
【试题答案】
一. 选择题。
1. B 2. A 3. B
4. C
提示：直线
的倾斜角为
依题意
的倾斜角的取值范围为 
即
从而的斜率
的取值范围为
答：选C。
5. B 6. C
二. 填空题。
7. 
8. 
提示：
9. 
10. 
11. 
或
三. 解答题。
12. 解：（1）由已知得：
∠B是直线BA到BC的角
（2）设
为∠BAC平分线上任意一点，则
解得：
或
（一条为∠BAC内角平分线，另一条为外角平分线）
由图形知即为所求。
（3）先求出BC与AC的交点
，
∴AB边上的高线的斜率为
，即
13. 由于两已知直线在y轴上的截距不是互为相反数，故所求直线不是y轴，设所求直线方程为
，由
得交点为
因为A点关于原点对称点
在直线上
代入，得
故所求直线的方程为
14. 解：设桌、椅分别买x、y张，把所给的条件表示成x，y的不等式组为
设目标函数a＝x＋y作出可行域，如图：
可行性区域为△AOB（包括边界）
由a＝x＋y，得
，表示斜率为
，y轴上的截距为a的平行直线系，要使a最大，如图只有直线系过B点。
由于y取整数，故取y＝37
∴买桌子25张，椅子37把是最优选择。