专题4 平面向量（1）
一、课前练习：
1.（ 05重庆）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量
与
的夹角为 （ ）
A．
B．
C．
D．－
2.（ 04全国2）已知平面上直线l的方向向量e=
点O（0，0）和A（1，－2）在l上的射影分别是O′和A′，则
e，其中
=
（A）
（B）
（C）2 （D）－2
3.（ 05湖北）已知向量
不超过5，则k的取值范围是
.
二、例题选讲：
例1.（ 05山东）已知向量
和
且
求
的值.
例2. （05福建）已知方向向量为v=(1,
)的直线l过点（0，－2）和椭圆C：
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（1） 求椭圆C的方程；
（备）例3.（ 03天津）已知常数a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．经过原点O以c+li为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2lc为方向向量的直线相交于点P，其中l∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得 PE + PF 为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
三、课堂练习：
1. （05山东）已知向量
,且
则一定共线的三点是 （ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
2. （05广东）已知向量
则x=
.
3. （04湖南）已知向量a=
，向量b=
，则2a－b的最大值是
.
四、课后练习：
1.
条件甲：“四边形
是平行四边形”是条件乙：“
”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2.
已知平面上直线
的方向向量
，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则
＝
，其中＝（ ）
A．
B．－ C．2 D．－2
3. 下列条件中，不能确定三点A、B、P共线的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4.
在直角坐标系中，O是原点，
=(－2＋cosθ,－2＋sinθ) (θ∈R)，动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 ( )
A． 4 B． 5 C． 2
D．
5.（05全国2）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为v个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 （ ）
A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10）
6.（ 04天津）若平面向量
与向量
的夹角是
，且
，则
（A） 
（B）
（C）
（D）
7. （04广东）已知平面向量
=（3，1），
=（x，–3），且
，则x=
（A）－3
（B）－1
（C）1
（D）3
8. （04上海）已知点A(1, －2),若向量
与
={2,3}同向,
=2
,则点B的坐标为
.
9. （05全国3）已知向量
，且A、B、C三点共线，则k= .
10. （03上海）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点，已知AB=2OA，且点B的纵坐标大于零．（1）求向量
的坐标; （2）求圆x2－6x+y2+2y＝0关于直线OB对称的圆的方程;（3）是否存在实数a，使抛物线y＝ax2－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a的取值范围．
11.已知△OFQ的面积为S，且
=1⑴若
<S<2,求向量
与
的夹角
的取值范围;
⑵设︱︱=C(c≥2),S=
C,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,当︱︱取最小值时,求此时椭圆的方程.
专题4 平面向量（2）
一、课前练习：
1.（05北京）
，则向量
的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2.（05浙江）已知向量
≠
，＝1，对任意t∈R，恒有－t≥－，则（ ）
A．⊥
B．⊥(－) C．⊥(－) D．(＋)⊥(－)
3.（04浙江）已知平面上三点A、B、C满足
则
的值等于 .
二、例题选讲：
例1. 已知向量
（1）求
（2）若
的最小值为
的值.
例2.（05上海卷）在直角坐标平面中，已知点
，其中
是正整数，对平面上任一点
，记
为关于点
的对称点，
为关于点
的对称点，．．．，
为
关于点
的对称点。（Ⅰ）求向量
的坐标；（Ⅱ）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数
的图象，其中
是以3为周期的周期函数，且当
时，
。求以曲线C为图象的函数在
上的解析式；
（Ⅲ）对任意偶数，用表示向量
的坐标。
（备）例3.（04福建）设函数f(x)= 
·
，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，x∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－
，]，求x；（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量
=(m，n)(m<
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
三、课堂练习：
1.（05江西）已知向量
（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2.（04湖北）已知
为非零的平面向量. 甲：
（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件
（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件
（C）甲是乙的充要条件
（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.（00上海卷）已知向量
(－1，2)、
=(3，m)，若┴，则m=
。
四、课后练习：
1.（04福建）已知、是非零向量且满足(－2) ⊥，(－2) ⊥，则与的夹角是 （A）
（B）
（C）
（D）
2.（04重庆）若向量
的夹角为
，
,则向量的模为
（A）2 （B）4
（C）6 （D）12
3.（00天津）设
、
、
是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①
②
③
不与垂直
④
中，是真命题的有
（A） ①② （B） ②③ （C） ③④ （D） ②④
4.（04全国1）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么a+3b= （A）
（B）
（C） （D）4
5.若向量的夹角为，,则向量的模为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 12
6.（04全国4）向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且a=2，b=4，则a与b夹角的
余弦值等于
7.（02上海）已知向量
和
的夹角为120°，且
，
，则
＝ 。
8.（04江苏卷）平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，
=1，且a·b=5，则向量b=__________.
9设
=（3，1），
=（-1，2），
⊥，
∥，试求满足
+=的的坐标，其中O为坐标原点。
10.（05湖北）已知向量
在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.
11．椭圆的两焦点分别为
、
，直线
是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；（2）设点
在椭圆上，且
，求
的最大值和最小值．
专题4 平面向量（1）答案
一、课前练习：1.C 2.D 3．[－6，2]
二、例题选讲：
例1.解法一：
由已知
得
又
所以
解法二：
由已知
例2.本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力．
（I）解法一：直线
， ① 过原点垂直的直线方程为
， ②
解①②得
∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．
故椭圆C的方程为
③
解法二：直线
．设原点关于直线对称点为（p，q），则
解得p=3．∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）． 故椭圆C的方程为 ③
（II）解法一：设M（
），N（
）．当直线m不垂直
轴时，直线
代入③，整理得
点O到直线MN的距离
即 
即
整理得
当直线m垂直x轴时，也满足
．故直线m的方程为
或
或
经检验上述直线均满足
．
所以所求直线方程为或
解法二：设M（），N（）．
当直线m不垂直轴时，直线
代入③，整理得 
∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，∴MN=ME+NE
=
以下与解法一相同．
解法三：设M（），N（）．设直线
，代入③，整理得
即
∴
=
，整理得
解得
或
故直线m的方程为或或经检验上述直线方程为
所以所求直线方程为或或
例3.本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．因此，直线OP和AP的方程为ly=ax 和 y－a＝－2lax．消去参数l，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)=－2a2x2，
整理得 
．
①
因为a>0，所以得：（ⅰ）当
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ⅱ）当
时，方程①表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点：（ⅲ）当
时，方程①也表示椭圆，焦点
和
为合乎题意的两个定点．
三、课堂练习：1.A 2．4 3. 4
四、课后练习：
1.A
2.D 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8. (5,4) 9．
10. 解：（1）设
，则由
即
得
或
因为
所以 v－3>0，得 v＝8，故 
（2）由
得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：（x－3）2＋（y＋1）2＝10，得圆心（3，－1），半径为
设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则
得
故所求圆的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝10．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则
得
即x1、x2为方程
的两个相异实根，
于是由
得
故当
时，抛物线y =ax2－1上总有关于直线OB对称的两点．
11.解:⑴由已知
∴tan=2S,由<S<2,得1<tan<4.又∈(0,
)∴
⑵以O为原点,所在直线为X轴建立坐标系,设所求∵S△OFQ=︱︱•︱y0︱=c,∴︱y0︱=
,∵=1,∴(c,0)•(x0-c,y0)=1,解得x0=c+
.∴︱︱=
=
,注意到当c≥2时,c+随c的增大而增大,因此当且仅当c=2时,︱︱有最小值,此时点Q坐标为(
,-)或(,)∴
解得
,故所求椭圆方程为
专题4 平面向量（2）答案
一、课前练习：1.C 2.C 3. --25
二、例题选讲：
例1. 解：（1）
．
（2）
当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取最小值－1，与已知矛盾．
当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取最小值－1－2λ2，由已知得：－1－2λ2=－，解得：λ=．当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得：
矛盾．综上所述：λ=为所求.
例2.解：（1）设点
，A0关于点P1的对称点A1的坐标为
A1关于点P2的对称点A2的坐标为
，所以，
（2）解法一
的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到。因此，基线C是函数
的图象，其中
是以3为周期的周期函数，且当
解法二设
若
当
（3）
由于
，
例3.本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.
解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－
.∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-
.
（Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+
)+1.∵m<，∴m=-，n=1.
三、课堂练习：1.C 2.B 3. 4
四、课后练习：1.B 2.C 3.D 4.C 5.C
6.
7. 13 . 8.
9. （11，6）；
10.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。
解法1：依定义
开口向上的抛物线，故要使
在区间（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
11．解（１）依据题意，设椭圆的方程为
，则由
，椭圆方程为
．
（２）因为在椭圆上，故
由平面几何知识得 
，即
，所以
．
令
，设
且
，则
，
所以函数在
上是单调递减的，从而当
时，原式取得最大值
，当
时原式取得最小值．