高考数学招生考试试卷
文科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．
第I卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件
互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发的概率是
，那么 
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
其中表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合
，
，则
为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．函数
的最小正周期为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3．函数
的定义域为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．若
，
，则
等于（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．设
，
则
的值为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．一袋中装有大小相同，编号分别为
的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7．连接抛物线
的焦点
与点
所得的线段与抛物线交于点，设点
为坐标原点，则三角形
的面积为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8．若
，则下列命题正确的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．四面体
的外接球球心在
上，且
，
，在外接球面上两点间的球面距离是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
10．设
在
内单调递增，
，则
是
的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为
，
，
，
，则它们的大小关系正确的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
12．设椭圆
的离心率为
，右焦点为
，方程
的两个实根分别为
和
，则点
（ ）
Ａ．必在圆
上 Ｂ．必在圆外
Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
第II卷
注意事项：
第II卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．在平面直角坐标系中，正方形
的对角线
的两端点分别为
，
，则
．
14．已知等差数列
的前项和为
，若
，则
．
15．已知函数
存在反函数
，若函数
的图象经过点
，则函数的图象必经过点 ．
16．如图，正方体
的棱长为1，过点作平面
的垂线，垂足为点
．有下列四个命题
Ａ．点是
的垂心
Ｂ．
垂直平面
Ｃ．二面角
的正切值为
Ｄ．点到平面
的距离为
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数
满足
．
（1）求常数
的值；
（2）解不等式
．
18．（本小题满分12分）
如图，函数
的图象与
轴相交于点
，且该函数的最小正周期为
．
（1）求
和
的值；
（2）已知点
，点是该函数图象上一点，点
是
的中点，当
，
时，求
的值．
19．（本小题满分12分）
栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为
，
，移栽后成活的概率分别为
，
．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
20．（本小题满分12分）
右图是一个直三棱柱（以
为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为
．已知
，
，
，
，
．
（1）设点是
的中点，证明：
平面；
（2）求与平面
所成的角的大小；
（3）求此几何体的体积．
21．（本小题满分12分）
设为等比数列，
，
．
（1）求最小的自然数，使
；
（2）求和：
．
22．（本小题满分14分）
设动点到点
和
的距离分别为
和
，
，且存在常数
，使得
．
（1）证明：动点的轨迹
为双曲线，并求出的方程；
（2）如图，过点
的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在
，使
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ
10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ
二、填空题
13． 14．
15． 16．A，B，C
三、解答题
17．解：（1）因为
，所以
；
由，即
，
．
（2）由（1）得
由得，
当
时，解得
，
当
时，解得
，
所以的解集为
．
18．解：（1）将
，
代入函数
中得
，
因为
，所以
．
由已知
，且
，得
．
（2）因为点，是的中点，．
所以点的坐标为
．
又因为点在
的图象上，且
，所以
，
，从而得
或
，
即
或
．
19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件
，
；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件
，
，
，
，
，
．
（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为
；
（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，
则
，
．
恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为
．
解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为
．
20．
解法一：
（1）证明：作
交
于
，连
．
则
，
因为是的中点，
所以
．
则
是平行四边形，因此有
，
平面
，且
平面
则面．
（2）解：如图，过作截面
面，分别交
，
于，
，
作
于，
因为平面
平面，则
面．
连结，则
就是与面所成的角．
因为
，
，所以
．
与面所成的角为
．
（3）因为，所以
．
．
．
所求几何体的体积为
．
解法二：
（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
，
，
，因为是的中点，所以
，
，
易知，
是平面的一个法向量．
由
且平面知平面．
（2）设与面所成的角为．
求得
，
．
设
是平面的一个法向量，则由
得
，
取
得：
．
又因为
所以，
，
则
．
所以与面所成的角为
．
（3）同解法一
21．解：（1）由已知条件得
，
因为
，所以，使成立的最小自然数
．
（2）因为
，…………①
，…………②
得：
所以
．
22．解：（1）在
中，
（小于的常数）
故动点的轨迹是以
，为焦点，实轴长
的双曲线．
方程为
．
（2）方法一：在
中，设
，
，
，
．
假设为等腰直角三角形，则
由②与③得
，
则
由⑤得
，
，
故存在
满足题设条件．
方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得
所以
，
．
则
．①
由
，可设
，
则
，
．
则
．②
由①②得
．③
根据双曲线定义
可得，
．
平方得：
．④
由③④消去
可解得，
故存在满足题设条件．