高考数学招生适应性考试文科卷
考试时间：2007年4月120分钟。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P， V=
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示不的半径
Pn(k)=C
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，保有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在
中，角
、
、
的对边分别是
、
、
，若
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知
且
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）7
（4）已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为
（A） （B） （C） （D）
（5）若数列
中，
，且对任意的正整数
、
都有
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）若直线
与直线
平行，则
的值等于
（A） 1 （B）
（C）1或 （D）
或
（7）曲线
与曲线
有
（A）相同的焦距 （B）相同的离心率 （C）相同的焦点 （D）相同的准线
（8）
的展开式中的常数项是
（A）
（B）15 （C）
（D）30
（9）函数
的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）1
（10）对于任意的直线与平面
，在平面内必有直线，使直线与
（A）平行 （B）相交 （C）互为异面直线 （D）垂直
（11）若不等式
对任意的
、
恒成立，则正实数的最小值为
（A）1 （B）4 （C）9 （D）14
（12）若
是
上的减函数，那么的的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)把答案填在题中横线上。
（13）
的值为
。
（14）在一次联欢会上，到会的男生比女生多12人。从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女生的概率为
，则参加联欢会的人数共有
人。
（15）若实数、满足
，则
的最大值为
。
（16）将正方形
沿对角线
折成直二面角，给出下列四个结论：①
；②
与
所成角为
；③
为正三角形；④与平面
所成角为。其中正确的结论是 （填写结论的序号）。
三、解答题：(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
（17）（本小题满分12分）已知向量
且
，
（Ⅰ）若与是两个共线向量，求的值；
（Ⅱ）若
，求函数
的最小值及相应的的值。
（18）（本小题满分12分）杏坛中学组织高二年级4个班的学生到汉方制药厂、贵阳钢厂、贵阳轮胎厂进行社会实践，规定每个班只能在这3个厂中任选择一个，假设每个班选择每个厂的概率是等可能的。
（Ⅰ）求3个厂都有班级选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个厂有班级选择的概率。
（19）（本小题满分12分）已知函数
满足
，
（Ⅰ）求、的值及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若对
，不等式
恒成立，求
的取值范围。
（20）（本小题满分12分）如图，已知平面
平行于三棱锥
的底面，等边三角形
所在平面与面
垂直，且
，设
。
（Ⅰ）证明：
为异面直线
与
的公垂线；
（Ⅱ）求点与平面
的距离；
|
|
|
的大小。
（21）（本小题满分12分）已知定点
，动点
满足条件：
，点的轨迹是曲线
，直线
与曲线交于、两点。如果
。
（Ⅰ）求直线
的方程；
（Ⅱ）若曲线上存在点，使
，求的值。
（22）（本小题满分12分）已知数列的前
项和为
，
，且
（Ⅰ）写出与
的递推关系式（
）；
（Ⅱ）求关于的表达式；
（Ⅲ）设
，求数列
的前项和
。
[参考答案]
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P， V=
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示不的半径
Pn(k)=C
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，保有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
解析：由题知
，故选择C。
（2）在中，角、、的对边分别是、、，若
，则
（A） （B） （C） （D）
解析：由正弦定理得
，因
，故
故选择C。
（3）已知且，则等于
（A） （B） （C） （D）7
解析：由且得
，
∴
，故选择C。
（4）已知向量满足，且，则与的夹角为
（A） （B） （C） （D）
解析：
，故选择B。
（5）若数列中，，且对任意的正整数、都有，则
（A） （B） （C） （D）
解析：由题得
，故选择C。
（6）若直线与直线平行，则的值等于
（A） 1 （B） （C）1或 （D）或
解析：由题得
，逐一检验，可知只有
符合条件，故选择A。
（7）曲线与曲线有
（A）相同的焦距 （B）相同的离心率 （C）相同的焦点 （D）相同的准线
解析：由
知这是焦点在轴上的椭圆，由
得
，即这是焦点在轴上的双曲线，故排除B、C、D，选择A。
（8）的展开式中的常数项是
（A） （B）15 （C） （D）30
解析：由题
，故常数项为
，故选择B。
（9）已知函数
，则的值域是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：由题
，在同一坐标系中画出
与
的图象，由数形结合，可得
，故选择C。
（10）对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使直线与
（A）平行 （B）相交 （C）互为异面直线 （D）垂直
解析：由题选择D。A错，原因是如
；B错，原因是如∥；C错，原因是如
。
（11）若不等式对任意的、恒成立，则正实数的最小值为
（A）1 （B）4 （C）9 （D）14
解析：由题得
∴
，故选择C。
（12）若是上的减函数，那么的的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
解析：由题得
，故选择D。
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)把答案填在题中横线上。
（13）的值为 。
解析：
（14）在一次联欢会上，到会的男生比女生多12人。从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女生的概率为，则参加联欢会的人数共有
人。
解析：设女生有人，由题得
。
|
、满足，则的最大值为
。
|
|
（16）将正方形沿对角线折成直二面角，给出下列四个结论：①；②与所成角为；③为正三角形；④与平面所成角为。其中正确的结论是
（填写结论的序号）。
解析：法1建立空间直角坐标系，通过计算可得正确的结论为①②③。
法2，如右图，将空间四边形放置到正方体中，由三垂线定理知①正确；由异面直线所成角知，与所成角即直线
与
所成角，因
为正三角形，故与所成角为，所以②正确；设
，则
，
，故③正确；与平面所成角为
，故④错。
三、解答题：(本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
（17）（本小题满分12分）已知向量且，
（Ⅰ）若与是两个共线向量，求的值；
（Ⅱ）若，求函数的最小值及相应的的值。
解析：（Ⅰ）∵∥
∴
，
又∵
∴
∴
即
∴
。
（Ⅱ）
当且仅当
即
时取到等号。
故函数的最小值为
，此时
。
（18）（本小题满分12分）杏坛中学组织高二年级4个班的学生到汉方制药厂、贵阳钢厂、贵阳轮胎厂进行社会实践，规定每个班只能在这3个厂中任选择一个，假设每个班选择每个厂的概率是等可能的。
（Ⅰ）求3个厂都有班级选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个厂有班级选择的概率。
解析：（Ⅰ）由题杏坛中学的4个班选择3个厂进行社会实践，可能出现的结果共有
种结果，由于这些结果出现的可能性相等，3个厂都有班级选择的可能出现的结果数为
，设“3个厂都有班级选择”为事件，则事件的概率为
。
（Ⅱ）记“恰有2个厂有班级选择”和“恰有1个厂有班级选择”为事件
，则
∴
。
（19）（本小题满分12分）已知函数满足，
（Ⅰ）求、的值及函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若对，不等式恒成立，求的取值范围。
解析：（Ⅰ）
，由得
∴
，故
或
故的单调递增区间为
，
。
（Ⅱ）法1：当变化时，
的变化情况如下表
|
|
|
|
| 1 |
|
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
可见
，，当
时，
为极大值，而
，则
为最大值，故要使不等式在时恒成立，只须
，即
即
解得
或
∴的取值范围为
。
法2： 由（Ⅰ）得
即
对，不等式恒成立，即不等式恒成立，
构造函数
，只须
∵
，令
得和
∴
，解不等式
得或
∴的取值范围为。
（20）（本小题满分12分）如图，已知平面平行于三棱锥的底面，等边三角形所在平面与面垂直，且，设。
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）求点与平面的距离；
（Ⅲ）求二面角的大小。
解法一：
（Ⅰ）证明：∵平面∥平面
∴∥
∵
∴
又∵平面
平面，平面
平面
∴
平面
∴
又∵
∴为与的公垂线。
（Ⅱ）过作
于
，
∵
为正三角形，
∴为
中点，
∵平面
∴
又∵
∴
平面
∴线段
的长即为到平面的距离
在等边三角形中，
∴点到平面的距离为
。
（Ⅲ）过作
于
，连结
由三垂线定理知
∴
是二面角的平面角
在
中，
，
～
，
∴
，∴
所以，二面角的大小为
。
法二：取
中点
，连结
，易知
平面，
过作直线
∥交于
取为空间直角坐标系的原点，、
、
所在直线分别为
如图建立空间直角坐标系，则
（Ⅰ）
∴
∴
，∴，
又∵∥，由已知，∥
∴
，
即为与的公垂线。
（Ⅱ）设
是平面的一个法向量，又
，
则
，即
，令
，则
∴
设所求距离为
，
∴点到平面的距离为。
（Ⅲ）设平面
的一个法向量为
，又
则
则
令
，则
即
，设二面角为，
又二面角为锐角
二面角的大小为
。
（21）（本小题满分12分）已知定点，动点满足条件：，点的轨迹是曲线，直线与曲线交于、两点。如果。
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）若曲线上存在点，使，求的值。
解：（Ⅰ）∵
∴点的轨迹是以为焦点，
的双曲线的左支，
∴曲线的方程为
设
，把
代入
消去得
∴
∴
两边平方整理得
，
∴
（∵
）
∴
故直线方程为
。
（Ⅱ）设
，由已知，得
∴
∴
∴
将点的坐标代入得
∴
或
（舍去）。
（22）（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，且
（Ⅰ）写出与的递推关系式（）；
（Ⅱ）求关于的表达式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和。
解法1：（Ⅰ）由
及
得
即
∴
（Ⅱ）由得
∴
是首项为1，公差为1的等差数列，
故
∴
（Ⅲ）∵
∴
∴
∴
………………①
当
时，
；
当
时，
；
当
时
………………②
由①－②得
；
∴
综上得
。
解法二、
（Ⅰ）由及得
猜测。用数学归纳法证明如下：
（1）
时，
猜测成立；
（2）假设
时，命题成立，即
，则
∴
，即
，即
时命题也成立。
综合（1）、（2）知对于
都有
所以
，故
。
（Ⅱ），证明见（Ⅰ）。