高考数学招生适应性考试试卷
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
是两个集合，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设
是非零向量，若函数
的图象是一条直线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设随机变量
服从标准正态分布
，已知
，则
=（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是（ ）
A．若函数
在
处连续，则
B．函数
的不连续点是
和
C．若函数，
满足
，则
D．
8．棱长为1的正方体
的8个顶点都在球
的表面上，
分别是棱
，
的中点，则直线
被球截得的线段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．设
分别是椭圆
（
）的左、右焦点，若在其右准线上存在
使线段
的中垂线过点
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设集合
， 
都是
的含两个元素的子集，且满足：对任意的
，
（
，
），都有
（
表示两个数
中的较小者），则
的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．圆心为
且与直线
相切的圆的方程是 ．
12．在
中，角
所对的边分别为
，若
，b=
，
，
，则
．
13．函数
在区间
上的最小值是 ．
14．设集合
，
，
，
（1）
的取值范围是 ；
（2）若
，且
的最大值为9，则的值是
．
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第
次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
，
．
（I）设是函数
图象的一条对称轴，求
的值．
（II）求函数
的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
18．（本小题满分12分）
如图2，分别是矩形
的边
的中点，
是上的一点，将
，
分别沿翻折成
，
，并连结
，使得平面
平面，
，且
．连结
，如图3．
图2 图3
（I）证明：平面平面
；
（II）当
，
，
时，求直线和平面所成的角．
19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点
和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面
所成的二面角为
（
），且
，点到平面的距离
（km）．沿山脚原有一段笔直的公路
可供利用．从点到山脚修路的造价为
万元/km，原有公路改建费用为
万元/km．当山坡上公路长度为
km（
）时，其造价为
万元．已知
，
，
，
．
（I）在上求一点
，使沿折线
修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在
上求一点
，使沿折线
修建公路的总造价最小．
（III）在上是否存在两个不同的点
，
，使沿折线
修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线
的左、右焦点分别为
，，过点的动直线与双曲线相交于
两点．
（I）若动点满足
（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在
轴上是否存在定点
，使
·
为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分13分）
已知
（
）是曲线
上的点，
，
是数列
的前项和，且满足
，
，
…．
（I）证明：数列
（
）是常数数列；
（II）确定的取值集合，使
时，数列是单调递增数列；
（III）证明：当时，弦
（）的斜率随单调递增．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．
12．
13．
14．（1）
（2）
15．
，32
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：（I）由题设知
．
因为是函数图象的一条对称轴，所以
，
即
（
）．
所以
．
当为偶数时，
，
当为奇数时，
．
（II）
．
当
，即
（）时，
函数
是增函数，
故函数
的单调递增区间是
（）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件
，“该人参加过计算机培训”为事件
，由题设知，事件与相互独立，且
，
．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
．
所以该人参加过培训的概率是
．
（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布
，
，
，即的分布列是
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0.001 | 0.027 | 0. 243 | 0.729 |
的期望是
．
（或的期望是
）
18．解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面
平面
，
，
平面，所以
平面
，又平面，所以平面
平面．
（II）过点作
于点
，连结
．
由（I）的结论可知，
平面，
所以
是和平面所成的角．
因为平面平面，平面平面
，
，
平面，所以
平面，故
．
因为，
，所以可在上取一点，使
，又因为
，所以四边形
是矩形．
由题设，，，则
．所以
，
，
，
．
因为平面，，所以
平面，从而
．
故
，
．
又
，由
得
．
故
．
即直线与平面所成的角是
．
解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而
．又
，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线
为轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则
，
，
，相关各点的坐标分别是
，
，
，
．
所以
，
．
设
是平面的一个法向量，
由
得
故可取
．
过点
作
平面于点，因为
，所以
，于是点在轴上．
因为，所以
，．
设
（
），由
，解得
，
所以
．
设和平面所成的角是，则
．
故直线与平面所成的角是．
19．解：（I）如图，
，
，，
由三垂线定理逆定理知，
，所以
是
山坡与所成二面角的平面角，则
，
．
设
，
．则
．
记总造价为
万元，
据题设有
当
，即
时，总造价最小．
（II）设
，
，总造价为
万元，根据题设有
．
则
，由
，得
．
当
时，
，在
内是减函数；
当
时，
，在
内是增函数．
故当，即
（km）时总造价最小，且最小总造价为
万元．
（III）解法一：不存在这样的点，．
事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与之间．故可设位于与之间，且
=
，
，
，总造价为
万元，则
．类似于（I）、（II）讨论知，
，
，当且仅当
，
同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时
，
，取得最小值，点
分别与点
重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．
解法二：同解法一得
．
当且仅当且
，即
同时成立时，取得最小值，以上同解法一．
20．解：由条件知
，
，设
，
．
解法一：（I）设
，则
则
，
，
，由得
即
于是的中点坐标为
．
当不与轴垂直时，
，即
．
又因为两点在双曲线上，所以
，
，两式相减得
，即
．
将代入上式，化简得
．
当与轴垂直时，
，求得
，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点
，使
为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是
．
代入有
．
则
是上述方程的两个实根，所以
，
，
于是
．
因为是与无关的常数，所以
，即
，此时=
．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为
，
，
此时
．
故在轴上存在定点
，使为常数．
解法二：（I）同解法一的（I）有
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以．
．
由①②③得
．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当
时，
，由④⑤得，
，将其代入⑤有
．整理得．
当
时，点的坐标为
，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，
当不与轴垂直时，由（I）有
，．
以上同解法一的（II）．
21．解：（I）当
时，由已知得
．
因为
，所以
．
…… ①
于是
．
……②
由②－①得
．
…… ③
于是
．
…… ④
由④－③得
，
…… ⑤
所以
，即数列
是常数数列．
（II）由①有
，所以
．由③有
，
，所以
，
．
而 ⑤表明：数列
和
分别是以
，
为首项，6为公差的等差数列，
所以
，
，
，
数列是单调递增数列
且
对任意的
成立．
且
．
即所求的取值集合是
．
（III）解法一：弦的斜率为
任取
，设函数
，则
记
，则
，
当
时，
，在
上为增函数，
当
时，
，在
上为减函数，
所以
时，
，从而
，所以在和上都是增函数．
由（II）知，时，数列单调递增，
取
，因为
，所以
．
取
，因为，所以
．
所以
，即弦
的斜率随单调递增．
解法二：设函数
，同解法一得，在
和
上都是增函数，
所以
，
．
故，即弦的斜率随单调递增．