高考数学招生适应性考试试卷
数学（文史类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
（
），
关于
的方程
（）有实数，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在等比数列
（
）中，若
，
，则该数列的前10项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
（）的二次展开式中，若只有
的系数最大，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．如图1，在正四棱柱
中，
分别是
，
的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．
与
垂直 B．与
垂直
C．与
异面 D．与
异面
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ）
A．48米 B．49米 C．50米 D．51米
8．函数
的图象和函数
的图象的交点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．设
分别是椭圆
（
）的左、右焦点，
是其右准线上纵坐标为
（
为半焦距）的点，且
，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设集合
， 
都是
的含两个元素的子集，且满足：对任意的
，
（
，
），都有
（
表示两个数
中的较小者），则
的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．圆心为
且与直线
相切的圆的方程是 ．
12．在
中，角
所对的边分别为
，若
，
，
，则
．
13．若
，
，则
．
14．设集合
，
，
，
（1）
的取值范围是 ；
（2）若
，且
的最大值为9，则的值是
．
15．棱长为1的正方体的8个顶点都在球
的表面上，则球的表面积是 ；设分别是该正方体的棱
，
的中点，则直线被球截得的线段长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
．求：
（I）函数
的最小正周期；
（II）函数的单调增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．
18．（本小题满分12分）
如图3，已知直二面角
，
，
，
，
，
，直线
和平面
所成的角为
．
（I）证明
；
（II）求二面角
的大小．
19．（本小题满分13分）
已知双曲线
的右焦点为
，过点的动直线与双曲线相交于
两点，点
的坐标是
．
（I）证明
，
为常数；
（II）若动点满足
（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．
20．（本小题满分13分）
设
是数列（）的前
项和，
，且
，
，
．
（I）证明：数列
（
）是常数数列；
（II）试找出一个奇数
，使以18为首项，7为公比的等比数列
（）中的所有项都是数列中的项，并指出
是数列中的第几项．
21．（本小题满分13分）
已知函数
在区间
，
内各有一个极值点．
（I）求
的最大值；
（II）当
时，设函数
在点
处的切线为
，若在点
处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
高考数学招生适应性考试试卷
数学（文史类）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上．
11．
12．
13．3
14．（1）
（2）
15．
，
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．解：
．
（I）函数的最小正周期是
；
（II）当
，即
（
）时，函数
是增函数，故函数的单调递增区间是
（）．
17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件
，由题设知，事件与相互独立，且
，
．
（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
．
解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
．
所以该人参加过培训的概率是
．
（II）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是
．
3人都参加过培训的概率是
．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是
．
解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是
．
3人都没有参加过培训的概率是
．
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是
．
18．解：（I）在平面
内过点作
于点，连结
．
因为
，
，所以
，
又因为，所以
．
而
，所以
，
，从而
，又，
所以
平面
．因为
平面，故
．
（II）解法一：由（I）知，，又，，
，所以
．
过点作
于点
，连结
，由三垂线定理知，
．
故
是二面角的平面角．
由（I）知，，所以
是和平面所成的角，则
，
不妨设
，则
，
．
在
中，
，所以
，
于是在
中，
．
故二面角的大小为
．
解法二：由（I）知，
，
，
，故可以为原点，分别以直线
为轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为
，所以是和平面所成的角，则．
不妨设，则，
．
在中，，
所以．
则相关各点的坐标分别是
，
，
，
．
所以
，
．
设
是平面
的一个法向量，由
得
取
，得
．
易知
是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为
，由图可知，
．
所以
．
故二面角的大小为
．
19．解：由条件知
，设
，
．
（I）当
与轴垂直时，可设点的坐标分别为
，
，
此时
．
当不与轴垂直时，设直线的方程是
．
代入，有
．
则
是上述方程的两个实根，所以
，
，
于是
．
综上所述，
为常数
．
（II）解法一：设
，则
，
，
，
，由得：
即
于是的中点坐标为
．
当不与轴垂直时，
，即
．
又因为两点在双曲线上，所以
，
，两式相减得
，即
．
将代入上式，化简得
．
当与轴垂直时，
，求得
，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得
．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当
时，
，由④⑤得，
，将其代入⑤有
．整理得．
当
时，点的坐标为
，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
20．解：（I）当时，由已知得
．
因为
，所以
． …………………………①
于是
． …………………………………………………②
由②－①得：
．……………………………………………③
于是
．……………………………………………………④
由④－③得：
．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有
，所以
．
由③有
，所以
，
而⑤表明：数列
和
分别是以
，
为首项，6为公差的等差数列．
所以
，
，
．
由题设知，
．当为奇数时，
为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若
是数列中的第
项，由
得
，取
，得
，此时
，由
，得
，
，从而是数列中的第
项．
（注：考生取满足
，
的任一奇数，说明是数列中的第
项即可）
21．解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以
在，内分别有一个实根，
设两实根为（
），则
，且
．于是
，
，且当
，即
，
时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由
知在点
处的切线的方程是
，即
，
因为切线在点
处空过的图象，
所以
在两边附近的函数值异号，则
不是
的极值点．
而
，且
．
若
，则和
都是的极值点．
所以
，即，又由，得
，故
．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在
（
）．
当
时，
，当
时，
；
或当时，，当时，．
设
，则
当时，
，当时，；
或当时，
，当时，．
由
知是
的一个极值点，则
，
所以，又由，得，故．