高考理科数学级第二次模拟考试
理科数学试卷
一、选择题:(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)
1.设集合
,
,若U=R,且![]()
,则实数m的取值范围是( )
A.m<2 B.m≥2 C.m≤2 D.m≤2或m≤-4
2.不等式
成立的充分不必要条件是
A.
或
B.
C.
或
D. ![]()
3.
= ( )
(A)tana (B)tan2a
(C)1 (D)
4.圆
上与直线
的距离等于
的点共有
A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个
5..设两个非零向量
不共线,若
与
也不共线,则实数k的取值范围为
( ).
A.
B.
C.
D. ![]()
6. 三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等,且AB=AC=
,BC=2,则二面角A—BC—D的大小为
A. 300 B. 450 C.600 D.900
7. 等比数列
前
项的积为
,若
是一个确定的常数,那么数列
,
,
,
中也是常数的项是( )
A.
B.
C .
D. ![]()
8.如右图,A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点,l是公路,图中所标线段为道路,ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站,使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在(
)
A. S点 B.Q点 C.R点 D. P点
二. 填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
9.若
的内角
满足
,则
_______
10.已知函数
11.一个正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为
,五个顶点都在同一个球面上,则此
球的表面积为
12. 若函数
的递减区间为(
,
),则a的取值范围是
13.实数
满足
,则
的最大值是
14.设函数
,给出以下四个论断:
①
的周期为π; ②
在区间(-
,0)上是增函数;
③
的图象关于点(
,0)对称; ④
的图象关于直线
对称.
以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
(只需将命题的序号填在横线上).
答题卷
一、选择题答题卡(共8个小题,每小题5分,共40分)。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题(共6个小题,每小题5分,共30分).
9、 10、 11、
12、 13、 14、
三、解答题:(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15、(本小题满分12分)
已知集合
函数![]()
(1)求
的最大值及最小值;
(2)若不等式
上恒成立,求实数。的取值范围.
16. (本小题满分13分)已知向量
满足
,且
,令
,
(Ⅰ)求
(用
表示);
(Ⅱ)当
时,f(x)
x2-2tx-
对任意的
恒成立,求实数
的取值范围。
17. (本小题满分14分) 如图,已知正三棱柱
—
的底面边长是
,
是侧棱
的中点,直线
与侧面
所成的角为
.
(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长;
(Ⅱ) 求二面角
的平面角的余弦值大小;
(Ⅲ)求点
到平面
的距离.
18. (本小题满分14分)(本小题14分)设![]()
,令
,
,
又
,
.
(1)判断数列
是等差数列还是等比数列并证明; (2)求数列
的通项公式;
(3)求数列
的前
项和.
19、设O为坐标原点,曲线
上有两点P、Q满足关于直线
对称,又以PQ为直径的圆过O点.
(1)求
的值;
(2)求直线PQ的方程.
20.(本小题满分14分)已知函数
和
的图象在
处的切线互相平行.
(Ⅰ) 求
的值;
(Ⅱ)设
,当
时,
恒成立,求
的取值范围.
参考答案
一、选择题答题卡(共8个小题,每小题5分,共40分)。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | B | D | B | C | A | D | C | B |
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分).
9.
10.
11. 9π 12. a>0
13. 7 14 ①④
②③ 或 ①③
②④
三、解答题:(本大题共2小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.解:解:(1)∵![]()
![]()
又∵![]()
即![]()
![]()
(2)∵![]()
![]()
![]()
16.【解析】(Ⅰ)由题设得
,对
两边平方得
…………………………………………………………2分
展开整理易得
……………………………………………………5分
(Ⅱ)
,当且仅当
=1时取得等号. ……………………………7分
欲使
对任意的
恒成立,等价于
……………9分
即
在
上恒成立,而
在
上为单调函数或常函数,
所以
………………………………………………………………11分
解得
…………………………………………………………………………13分
故实数
的取值范围为
………………………………………………………14分
17. 解:(Ⅰ)设正三棱柱
—
的侧棱长为
.取
中点
,连
.
是正三角形,
.
又底面
侧面
,且交线为
.
侧面
.
连
,则直线
与侧面
所成的角为
. ……………2分
在
中,
,解得
. …………3分
此正三棱柱的侧棱长为
.
……………………4分
注:也可用向量法求侧棱长.
(Ⅱ)解法1:过
作
于
,连
,
侧面![]()
![]()
.
为二面角
的平面角.
……………………………6分
在
中,
,又
, ![]()
.
又![]()
在
中,
.
…………………………8分
故二面角
的大小为
.
…………………………9分
解法2:(向量法,见后)
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知,
平面
,
平面
平面
,且交线为
,
过
作
于
,则
平面
.
…………10分
在
中,
.
…………12分
![]()
为
中点,
点
到平面
的距离为
. …………13分
解法2:(思路)取
中点
,连
和
,由![]()
,易得平面
平面
,且交线为
.过点
作
于
,则
的长为点
到平面
的距离.
解法3:(思路)等体积变换:由
可求.
解法4:(向量法,见后)
题(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:
(Ⅱ)解法2:如图,建立空间直角坐标系
.
则
.
设![]()
为平面
的法向量.
由
得![]()
.
取
…………6分
又平面
的一个法向量
…………7分
![]()
. …………8分
结合图形可知,二面角
的大小为
.
…………9分
(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2,![]()
…………10分
点
到平面
的距离
=
.13分
18. 解:(1) 由
得:
,……(2分)
变形得:
即:
, ………(4分)
数列
是首项为1,公差为
的等差数列. ………(5分)
(2) 由(1)得:
, ………(7分)
, ![]()
………(9分)
(2)
由(1)知:
………(11分)
![]()
![]()
………(14分).
19、20.解: (1) 曲线
表示以
为圆心,以3为半径的圆, 圆上两点P、Q满足关于直线
对称,则圆心
在直线
上,代入解得
-------------------------------------3分
(2)直线PQ与直线
垂直,所以设PQ方程为
,![]()
.
将直线
与圆的方程联立得![]()
由
解得
.----------------------5分
.
又以PQ为直径的圆过O点
![]()
解得![]()
-----------------10分
故所求直线方程为
-----------------------------------------------------------12分
20.解:(Ⅰ)
………………………3分
∵函数
和
的图象在
处的切线互相平行
…………………………………………………5分
![]()
………………………………………………………………6分
(Ⅱ)![]()
![]()
![]()
…………………………………………7分
令
![]()
∴当
时,
,当
时,
.
∴
在
是单调减函数,在
是单调增函数. …………………………9分
,![]()
∴当
时,有
,当
时,有
.
∵当
时,
恒成立, ∴
…………………………11分
∴满足条件的
的值满足下列不等式组
①,或
②
不等式组①的解集为空集,解不等式组②得![]()
综上所述,满足条件的
的取值范围是:
. ……………………13分