《立体几何》（文科）高考备考建议
东莞中学数学科 吴强
一、高考大纲对本章的考查要求 解读：
（1）空间几何体
① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.
③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.
⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
注重培养学生的空间想象能力，画出简单空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形。例如07年广东高考文科第17题：
（2）点、直线、平面之间的位置关系
① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.
◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
理解以下判定定理.
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理，并能够证明.
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
注重线面关系（线线平行、线面平行、面面平行之间的转移；线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转移；还有平行与垂直关系的转移）。例如07年广东高考文科第6题：
再如06年北京高考题：如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，点
是
的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
解：（1）由平面可得PA^AC
又，所以AC^平面PAB，所以
（2）如图，连BD交AC于点O，连EO，则
EO是△PDB的中位线，\EO
PB
\PB
平面
二、《07考纲（新）》与《06考纲（旧）》比较
07考纲（新）对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次.
（1）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它.
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等.
（2）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.
这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想像，比较、判别，初步应用等.
（3）掌握：要求能够对所列的知识内容推导证明，能够利用所学知识对问题能够进行分析、研究、讨论，并且加以解决.
这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.
新旧《考纲》的对比如下：
| 编号 | 07考纲（新） | 06考纲（旧） |
| 1 | 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征. | 掌握棱柱的性质，掌握正棱锥的性质，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式. |
| 2 | 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. | 掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系. |
| 3 | 掌握三垂线定理及其逆定理. | |
| 4 | 掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离. | |
| 5 | 掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念. | |
| 6 | 掌握二面角、二面角的平面角、两平行平面间的距离的概念. | |
| 7 | 能够画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能够识别上述的三视图所表示的立体模型. | |
| 8 | 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图. |
此外，整个空间向量部分内容新《考纲》已不作要求．
三、复习建议：
1、地位：兵家必争
虽然近年来立体几何试题在命题思路和方法上不时有些出人意外之处，但总体上还是保持了稳定，所以复习备考工作有章可循，有法可依。特别是立体几何试题难度中等，大题分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数，因而立体几何成为历年数学高考中的“兵家必争之地”。
2、该部分内容宽度、厚度的把握
（1）依纲靠本，控制难度.
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本。我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不出偏题、怪题。
例如06年辽宁高考：给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线
与同一平面所成的角相等,则互相平行；④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解：利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。
（2）网络完备，主干突出
立体几何的复习要让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干。如转化思想是统率立体几何的数学思想，所以要让学生牢固树立以下的思维脉络：证线面垂直（或平行），转化为证线线垂直（或平行）；证面面垂直（或平行），转化为证线面垂直（或平行）或证线线垂直（或平行）。又如为了使学生的知识网络完备，在复习线线平行的证明方法时，要总结梳理出以下四个证明的定理：①、公理4；②、线面平行的性质定理；③、面面平行的性质定理；④、线面垂直的性质定理。
例如06年天津高考：如图，在五面体
中，点
是矩形的对角线的交点，面
是等边三角形，棱
．
（1）证明
//平面；
（2）设
，证明
平面
．
证明：（1）取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，
，又
，
则
，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.
又
平面CDE，切EM
平面CDE，∵FO∥平面CDE
（2）连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
又OM⊥CD 且EM∩OM=M， ∴CD⊥平面EOM， 从而CD⊥EO
∵ 
.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
，所以EO⊥平面CDF.
（3）理据充分，规范答题
从近年立体几何解答题的答题情况来看，学生“会而不对，对而不全”的问题比较严重，很值得引起我们的重视。因此，在平时的训练中，我们就应当培养学生规范答题的良好习惯，要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”。
（4）重视想象，识图画图
立体几何是培养学生空间想象力的数学分支。在具体要求上，要把握好以下三点：①、培养学生识图、想图、画图的能力（包括规范图形和非规范图形）；②、培养学生将概念、性质灵活应用于图形的能力，要把文字语言、符号语言和图形语言有机结合起来；③、培养学生对图形的处理能力，会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容应重点关注。
例如06年江西高考：如图，已知正三棱柱
的底面边长为1，高为8，一质点自
点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达
点的最短路线的长为 10 .
解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论．
又如06年山东高考：如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
(A)
(B)
(C)
(D)
解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为
，外接球的体积为
，故选C．
再如05年全国高考：如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为
A 
B 
C 
D 
解：分别取AD、BC的中点M、G，分别过点M、G作MN⊥EF、GH⊥EF，垂足分别为N、H，连AN、ND、BH、HC．原几何体可分割为左三棱锥E－AND，右三棱锥F－BHC，直三棱柱AND－BHC．易求得该多面体的体积为，故选A．
四、配套练习（06年12月立几单元练习卷）
（一）选择题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．一条直线与一个点确定一个平面 B．有三个公共点的两个平面必定重合
C．三条直线两两相交，则这三条直线共面
D．若线段AB在平面内，则线段AB延长线上的一点C也在平面内
2．空间三条直线
，且
，
与
相交，则
与（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．异面或相交
3．在空间四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．两条异面直线所成的角的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．平行于棱锥底面的平面把棱锥的高分成
的两部分（自上而下），则截面与棱锥底面的面积之比是（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列命题中，正确的个数是（ ）
①平行于同一条直线的两直线平行
②平行于同一个平面的两直线平行
③垂直于同一条直线的两直线平行
④垂直于同一个平面的两直线平行
⑤平行于同一条直线的两平面平行
⑥平行于同一个平面的两平面平行
A．1 B．2 C．3 D．4
7．右图是一个几何体的三视图，则这个几何体
的表面积为（ ）
A．64+16
B．64+32 C．80+16 D．80+32
8．一个底面直径是32cm的圆柱形水箱装入水，
然后放入一个铁球，该球被水淹没，水面升高9cm，则球的表面积是( )
A．144
B．288 C．576 D．2304
9．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
面AC且PA=1，则P到对角线BD的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．从水平放置的球体容器的顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器中水面的高度与注水时间t之间的关系用图象表示应为（ ）
（二）填空题
11．若
，则直线与AB的位置关系是
．
12．在空间四边形ABCD中，E、F分别是BD、AC的中点，且BC=AD=2EF，则EF与AD所成的角等于 ．
13．三棱锥P-ABC中，若棱PA=x，其余各棱长均为1，则x的范围是__________；
三棱锥P-ABC的体积的最大值为__________．
14．下图中，不是正四面体的表面展开图的是____ ___．
（三）解答题
15．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为
.求圆锥的表面积．
16．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别是PB和AC的中点，
求证：①EF//平面PAD；②
；
17．已知三棱锥P—ABC中，PC⊥底面ABC，
AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE∶EP=1∶2，求截面BEF分三棱锥P—ABC
所成两部分的体积比．
＊18．如图，甲、乙是边长为4a的两块正方形钢
板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）。
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。
配套练习参考答案
（一）选择题1――10 DDCCC CACBA
（二）填空题 11.异面 12.
13.
；
14.④⑥
（三）解答题
15.
16.略 17.（3）1∶2
18.解：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a，高为a的正四棱柱。
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面边长为2a，斜高为3a的正四棱锥。
（2）∵正四棱柱的底面边长为2a，高为a， ∴其体积
。
又∵正四棱锥的底面边长为2a，高为
，∴其体积
。
∵
， 即
，∴
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。
（说明：裁剪方式不惟一，计算的体积也不一定相等）