九、直线、平面、简单几何体
考试要求：1、掌握平面的基本性质，会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。2、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理。3、理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。4、了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。5、掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式。6、理解直线的方向向量，平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。7、掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念。对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。掌握直线和平面垂直的性质定理。掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。8、了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。9、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。10、了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
11、了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
1、已知直线m，n，平面
，给出下列命题：
①若
；②若
；③若
；
④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直.其中正确的命题是：
A．②③ B．①③ C．②④ D．③④
2、已知平面α、β、γ，直线l、m，且
，给出下列四个结论：①
；②
；③
；④
.则其中正确的个数是：
|
3、如图，点E是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱DD1
的中点，则过点E且与直线AB、B1C1都相交的
直线的条数是：
A．0 B．1
C．2 D．无数条
4、已知四个命题：
①若直线l∥平面
，则直线l的垂线必平行于平面；
②若直线l与平面相交，则有且只有一个平面经过l与平面垂直；
③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；
④若四棱住的任意两条对角线都相交且互相平分，则这个四棱柱为平行六面体.
其中正确的命题是：
A．① B．② C．③ D．④
5、在正三棱锥S—ABC中，侧棱SC⊥侧面SAB，侧棱SC=
，则此正三棱锥的外接球的表面积为
6、在空间中，下列命题中正确的是：
①若两直线a、b分别与直线l平行，则a//b
②若直线a与平面β内的一条直线b平行，则a//β
③若直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥β
④若平面β内的一条直线a垂直平面γ，则β⊥γ
A．①②④ B．①④ C．①③④ D．①②③④
|
把棱柱分成两部分的体积之比为5∶1,则二面角P—AC—B
的大小为 ：
A．30° B．45°
C．60° D．75°
8、球面上有A、B、C三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
，过A、B、C
的小圆圆心到△ABC的边BC的距离为1，那么球的面积为
9、P是正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱CC1上一点（侧棱端点除外），则∠APB的大小满足：
A．
B．
C．
D．以上都有可能
10、锥体体积V可以由底面积S与高h求得：
. 已知正三棱锥P—ABC底面边长为2
，体积为4，则底面三角形ABC的中心O到侧面PAB的距离为 .
|
M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平
面AMN的距离是 （ ）
A．
B．
|
D．2
12、如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，
将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在
AC上时，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是 .
13、如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，
，E是A1C的中点，
且交AC于D，
。
（I）证明：
平面
；
（II）证明：
平面
；
（III）求平面
与平面EDB所成的二面角
的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）。
14、如图，P—ABCD是正四棱锥,
是正方体，其中
。
（1）求证：
；
（2）求平面PAD与平面
所成的锐二面角
的
大小。
15、如图，已知正四棱锥
—
的底面边长为4，高为6，点
是高的中点，点
是侧面
的重心．求：
（1）、两点间的距离；
（2）异面直线
与
所成角的余弦值；
（3）直线与底面所成的角．
16、矩形ABCD中，
，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移动到点P，使点P在平面BCD上的射影在DC上（如下图F）。
（I）求证：PD⊥PC；
（II）求二面角P—DB—C的大小；
（III）求直线CD与平面PBD所成角的大小。
|
（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）求PA的长；
（Ⅲ）求二面角P—MN—Q的余弦值.
18、如图：已知在
中，
，
，
平面
，
，
是
的中点．
（1）求直线
和
所成的角；
（2）求点
到平面
的距离；
（3）若
是线段
上的一个动点，请确定点的
位置，使得平面
平面
．
19、如图，在直三棱柱
中，
，
，
为的中点，D在A1B1上
且
．
（I）求证：平面
⊥平面
；
（II）求二面角
的大小．
九、直线、平面、简单几何体参考答案
1、D；2、C；3、B；4、D；5、
；6、B；7、A；8、
；9、D；10、
；
11、D；12、
13. （I）证：
三棱柱
中
， 又
平面，
且
平面，
平面
（II）证：三棱柱中
，
中
是等腰三角形，
E是等腰
底边
的中点，
又依条件知
，且
由①，②，③得平面EDB
（III）解：
平面
，且
不平行，
故延长
，ED后必相交，设交点为E，连接EF，如下图
是所求的二面角，依条件易证明
为中点，
A为
中点，
，
， 即
又
平面EFB，
，
是所求的二面角的平面角
E为等腰直角三角形底边中点，
故所求的二面角的大小为
14、解: 以A1B1所在直线为轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。
（1）设E是BD的中点，∵P－ABCD是正四棱锥，
，
又， 
, 
，
∴ = (－2,2,0)， = (1,1,2)，
∵ ·=0，∴ ⊥，即 。
（2）设平面PAD的法向量是m = (x,y,z)， ∵= (0,2,0) ， = (1,1,2) ，
∴ Þ Þ ，
取
得m = (－2,0,1)，∴cos<m,n> = = － ，
。
15．解：如图所示，建立空间直角坐标系，
是底面的中心，
∥
，
∥
．
则有关点的坐标为
，
，
．
∵
是
的中点，
是
的重心，
∴它们的坐标为
，
．
（1）
．
∴、两点间的距离为
．
（2）
，
，设
、
的夹角为
，
，
∴
．
∴异面直线
、
所成角的余弦值为
．
（3）
是的中点，可以证明直线
是直线在平面
上的射影．
故与所成角就是与平面
所成的角．点的坐标为（0，2，0）
∴
=（0，2，0），=（0，
，-1）．
设、的夹角为
，则
．
∴与平面所成的角为
．
16、（I）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD，DA⊥AB，∵A点移动到了P点
∴PD⊥PB，又∵P点在平面BCD上的射影在CD上，∴过P点作PF⊥CD
∴PF⊥面BCD，∴BC⊥面PCD，∴BC⊥PD，∴PD⊥面PBC， ∴PD⊥PC
（II）解：∵PF⊥面BCD， ∴过点F作FE⊥BD，连结PE
∴∠PEF为二面角P—BD—C的平面角，∵PD⊥PC，∴△CPD为Rt△
，
又∵在
中，
，∴PE＝3
，
（III）解：过F点作FG⊥PE，由（2）可知FG⊥面PBD，连结GD
∴∠GDF为直线CD与平面PDB所成的角
∵在
中，
，∴DF＝2
∵在
中，
，
，
， 
17、解：（I）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系（图略）.
设PA=a，则A（0，0，0），B（2，0，0）C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，a），
M（0，1，0），N（2，1，0）.
∴MN⊥平面PAD. ∵MN
平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD.
（II）
平面PBA的一个法向量为
.
∵直线PC与平面PBA成角的正弦值为
即
（III）由（I），MN⊥平面PAD，知PM⊥MN，MQ⊥MN，
∴∠PMQ即为二面角P—MN—Q的平面角.
而
18、解：（1）延长到
使
，连结
、
，是中点，所以
．
故直线和所成的锐角（或直角）就是和所成的角…2分
∵平面
∴
，又． ∴
．
是中点，故
．所以
，又
，因此
为等边三角形．所以
∴直线和所成的角是
（2）设到平面的距离为
，则
∵
，
，
∴
（3）由上可知，
，又是中点，故
，
由平面
平面
，∴应
平面
故
，即应为过的的垂线和的交点．
由
，所以的中垂线过点，即为点．
19、解：（I）证明：在△ABC中，AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，
又∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABB1A1⊥平面ABC ∴CM⊥平面ABB1A1，
而CM
平面CMD， ∴平面CMD⊥平面ABB1A1
（II）解法一
过M作ME⊥BD于E，连结CE，
∵CM⊥平面ABB1A1
∴ME是CE在平面ABB1A1上的射影，∴CE⊥BD， 所以∠CEM是二面角的平面角．
由＝1，则AB＝
，
，
取MB的中点F，则BF＝
，
∴
由
得：
在Rt△CME中，tan∠CEM＝
所以∠CEM＝
即二面角的大小是
解法二（向量法）：以C为原点，分别以CA 、CB、CC1所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，令＝1，
则C（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），
B（0，1，0），B1（0，1，1），M（
，，0），
D（
，
，1），C1（0，0，1），
∴
，
．
设平面CBD的法向量为
，则
取
，则
，∴
．
而平面MBD的法向量是
＝（，，0），
∴cos<，
>＝
，即<，>＝
如图可知，二面角为锐角，∴二面角的大小为