高考数学第二轮数学专题训练一
（理）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间为120分钟．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率是
球的表面积公式
、球的体积公式
，其中
表示球的半径
第I卷（选择题，共50分）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设全集U=R，已知集合
，集合
Z
Z
，则
（B）
A．
B．
C．{0，1，3} D．
提示：由
，
，求得正确选项为B．
2．已知三个力
，
，
同时作用于某物体上一点，现加上一个力
后恰使得物体保持平衡，则
（B）
A．7 B．1 C．－1 D．
提示：要求四个力的和为零向量，∴
（1，2），故
，选B．
3．设复数
的共轭复数用
表示，已知复数
在映射f下的象为
，且
在
下存在原象，则它的原象为（ A ）
A．2 B．
C．
D．
提示：令
，则
，∴
，故原象为
，故选A．
4．如果一个点既在一个指数函数的图象上又在一个对数函数的图象上，那么就称这个点为“优质点”．在下面五个点M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，
）中，“优质点”的个数为（B）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
提示：若为对数函数图象上的点，则当
时，
，∴M、N两点不符合条件，若为指数函数图象上的点，则当
时才有
，∴P点不符合条件，反之在找到指数函数
，使
和
成立的同时可以找到对数函数
，使
和
成立，故选B．
5．用一个平面去切一个正四面体，使之得到形状大小都相同的两个几何体，则这样的平面共有（D）
A．3个 B．6个 C．12个 D．无数个
提示：过其中一组对棱的两个中点，且与另一组对棱相交的平面都满足条件，选D．
6．已知
，则圆锥曲线
的一条准线方程是（C）
A．
B．
C．
D．
提示：由已知得
，∴
，∴圆锥曲线的标准方程为
，其渐近线方程为
，故选C．
7．如果数列
满足
，则
（ A
）
A．2 B．1 C． D．0
提示：依题意有
，∴
，即数列
是等差数列，公差为
，首项为，∴
，∴
，∴
，故选A．
8．已知函数
的反函数是
，且
，则
的最小值是（D）
A．2 B．4 C．
D．
提示：由已知
，∴，即
，即
，且
都为正数，∴
，故选D．
9．曲线
上的点到直线
的最短距离是（A）
A．
B．
C．
D．0
提示：令
，则
，∴曲线上过点（1，0）的切线与直线平行，从而最短距离即为点（1，0）到直线的距离，由距离公式得
，选A．
10．若函数
的图象如图所示，则m的取值范围为（B）
A．
B．
C．
D．
提示：
，由图象可知
必有两个绝对值大于1的实数根，∴
，又在
上函数单调递增，∴
，故选B．
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．已知函数
的最小正周期为
，则
____________．
[答案]1
提示：
，∴最小正周期
，∴
，∴
，∴
．
12．设O为坐标原点，A（2，1），若P
的坐标满足
，则
的最大值为
．
[答案]
提示：作出可行域，设取得最大值的点为
，则
，令
，由图形可知当该直线系经过
与
的交点
时
有最大值12，故为．
13．设
，若在处连续，则
__________．
[答案]
提示：当点处的极限值等于其函数值，∴
，∴
，
，故得
．
14．某市为改善投资环境，计划对城郊结合部如图所示的A、B、C、D、E、F六个区域进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个区域，但要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方法共有____________种（用数字作答）．其中区域A在第一期得到治理的概率是_______________．
[答案]16，
提示：分两类，第一类，恰有两个区域相邻——当AB或EF相邻时各有3种，当BC、CD、DE相邻时各有2种；三个区域都不相邻——有
种方法；故共有16种方法．
其中含有A的方法有ABD（E、F），ACD（DE、EF、DF）和ACE（F）9种，故所求概率为．
15．对大于2或等于2的自然数
的次幂进行如下方式的“分裂”：
，
，
；
，
，
，
，…
则对
进行类似的“分裂”时，“分裂”中的最大的数是____________；若已知
在“分裂”中的最小数是21，则的值为______________．
[答案]9，5
提示：由
得 “分裂”中的最大的数是9；又
，而
，故知若在“分裂”中的最小数是21，则的值为5．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知函数
．
（1）当
时，求函数的单调递增区间；
（2）当
且
时，函数的值域为
，求
的值．
[解答]
，
（1）当时，
，
∴当
（
）时是增函数，
∴的单调递增区间是
（）；
（2）由得
，
∴
，
∵，∴当
时，取得最小值为3，
而当
时，取得最大值为4，
即
，解得
，∴
．
17．（本小题满分12分）如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使BC＝t(t>0)，连AC交BE于D点．
（1）用t表示向量
和
的坐标；
（2）求向量和
的夹角的大小；
（3）求
的取值范围。
[解答]（1）
＝((t+1)，－(t+1))，
∵
＝t
，∴
＝t
，＝
，又
＝(，)，
＝－＝(t，－(t+2))；∴＝(，－)，
∴
＝(，－)；
（2）∵
＝(，－)，
∴
·
＝·＋·＝，
又∵·＝
·
，
∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°；
（3）由（2）·＝
，
∴·
，且等号不能取得，
∴·
，所求范围是
。
18．（本小题满分12分）一种电器控制器在出厂时每五件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和3件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试．
（1）求前两次取出都是二等品的概率；
（2）求第二次取出的是二等品的概率；
（3）用随机变量
表示第二个二等品被取出时共取出的产品件数，求的分布列及数学期望．
[解答]（1）五件产品逐一取出方法共有
种，
前两次取出都是二等品的方法共有
种，
所以前两次取出都是二等品的概率为
（2）第二次取出是二等品方法共有
种，
所以第二次取出是二等品的概率是：
；
（3）依题意
，
，
|
| 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
|
所以分布列为：
∴
．
19．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是2，点A1与AB、AC的距离都等于
，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F.
（1）求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
（2）求点A到平面B1BCC1的距离；
（3）求平面A1EF与平面A1B1C1所成二面角的大小.
[解答]（1）
，∴B1B
平面A1EF，∴平面A1EF⊥平面B1BCC1；
（2）由于A1A//平面B1BCC1，
故点A、A1与平面B1BCC1的距离相等.
∵四边形ABB1A1为菱形，故A1E=A1F=，
∵B1B⊥平面A1EF，EF
平面A1EF，
∴BB1⊥EF，从而EF=BC=2，
∴△A1EF是等腰直角三角形，
取EF中点M，则A1M⊥EF，且A1M=1，
从而A1M⊥平面B1BCC1，即A1到平面B1BCC1的距离为1；
（3）设平面A1EF与平面A1B1C1所成的二面角的棱为直线l，取B1C1的中点N，
则A1N⊥B1C1，但B1C1//EF，∴B1C1//平面A1EF，于是B1C1//l，
在△A1B1C1中，A1N=
，∴A1M⊥l，A1N⊥l，
即∠MA1N为所求二面角的平面角，
∵A1M⊥平面B1BCC1，∴A1M⊥MN，∴cos∠NA1M=
，
故所求二面角的大小为
．
20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知A1
，A2
，P（
），M
，O为坐标原点，若实数
使向量
，
和
满足
．
（1）求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）当
时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一个交点为B，能否在直线
上找到一点C，恰使
为正三角形？请说明理由．
[解答]（1）由已知可得
，
，
，且
，∴即
，
即点P的轨迹方程是
，
当
即
时，有
，
此时
，∴
，综合知此时点的轨迹即为两点A1和A2；
当
即
时，方程为
，
此时点P的轨迹是双曲线；
当
时，方程为，且为两条射线；
（2）过点A1斜率为1的直线方程为
，
当时，曲线方程为
，其轨迹就是两点A1和A2，
此时直线过点A1但不过A2点，∴B点不存在，从而这样的三角形也不存在．
21．已知函数
，记
，
，且
．
（1）求数列
的前项和；
（2）解关于的不等式
；
（3）证明
．
[解答]（1）∵
，
，
……
，
∴
，
而，
∴
，∴
，
∴
；
（2）当
时，
成立，故是不等式
的一个解，
当
时，
成立，故不是不等式的解，
当
时，
成立，故也不是不等式的解，
当
，
时，∵
，
∴故
，故，都是不等式的解，
综合知所求的解集为
，且
；
（3）∵
，
且由（2）知
，
∴
．