高考数学模拟示范卷卷(二)
江西金太阳教育研究所数学研究室 编
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)
1.若复数
(
为虚数单位)是纯虚数,则实数
的值为( ).
A.
B.
C.
D.
2.若函数
的反函数图象过点
,则函数
的图象必过点( ).
A.
B.
C.
D.
3.“
”是“
”的( ).
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设集合
,
,若
,则的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
5.设函数
,则其反函数
的图象( ).
 |
6.已知
的内角
的对边分别为
,且
为直角,则“
”是“
”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离等于大圆周长的
,经过这三点的小圆周长为
,则球的体积为( ).
A.
B.
C.
D.
8.若抛物线
与圆
相切,则公切线的方程为( ).
A.
B.
C.
D.
9.某建筑工地搭建的脚手架局部类似于
的长方体,一建筑工人从
沿脚手架到
,则行走的最近线路有( ).
A.
种 B.
种
C.
种
D.
种
10.如图,
是椭圆
上一点,
、
是椭圆的左、右焦点,且
是
的中点,
,则点到该椭圆左准线的距离为( ).
A.
B.
C.
D.
11.若
,且
与
的图象关于直
线
对称,则
( ).
A.
B.
C.
D.
12.若向量
、
满足
,且
恒成立,则实数
的取值范围是( ).
A.
B.
C.
D.
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13.二项式
的展开式中的
的系数是
,则
.
14.设
,变量满足条件
或
,若使
取得最小值的点
有且仅有两个,则.
15.在棱长均相等的正三棱柱
中,
与平面
所成的角的正弦值为.
16.设数列
满足
,且
,则
.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在
中,角的对边分别为,且满足
.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)已知函数
,求
的取值范围.
18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费
元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为
,若中奖则商家返还顾客现金元.小王购买一套价格为
元的西服,只能得到张奖券,于是小王补偿
元给一同事购买一件价格为
元的便服,这样小王就得到了张奖券.设小王这次消费的实际支出为
元,试分析小王出资元增加
张奖券是否划算？
19.(本小题满分12分)在三棱锥
中,底面是以
为直角的等腰三角形.又
在底面
上的射影
在线段
上且靠近点,
,
,
和底面所成的角为
.
(Ⅰ)求点到底面的距离；
(Ⅱ)求二面角
的大小.
20.(本小题满分12分)
已知一列非零向量
满足
,
.
(Ⅰ)证明：数列
是等比数列；
(Ⅱ)设
,
,
,求
.
21.(本小题满分12分)如图,点
为双曲线的左焦点,左准线
交轴于点,点是上一点.
已知
,且线段
的中点
在双曲线的左支上.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
(Ⅱ)若过点的直线
与双曲线的左、右两支分别交于、两点,
设
,当
时,求直线的斜率的取值范围.
22.(本小题满分14分) 已知函数
.
(Ⅰ)若
,求函数
的极值；
(Ⅱ)当
时,不等式
恒成立,求实数的取值范围.
高考数学模拟示范卷(二)
参考答案
一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | B | A | B | C | C | B | C | C | D | B | A |
二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
13. 
14. 15. 
16.
三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,且满足.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)已知函数,求的取值范围.
解：(Ⅰ)由,得
,即
.
∵
,∴
.
(Ⅱ)
,∴
.∵
,∴
,∴
.
18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为,若中奖则商家返还顾客现金元.小王购买一套价格为元的西服,只能得到张奖券,于是小王补偿元给一同事购买一件价格为元的便服,这样小王就得到了张奖券.设小王这次消费的实际支出为元,试分析小王出资元增加张奖券是否划算？
解：的可能取值为
.
,
,
,
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∴的分布列为
(元). 同理设小王不出资元
增加张奖券消费的实际支出为
元,
.
,故小王出资元增加张奖券划算.
19.(本小题满分12分)在三棱锥中,底面是以为直角的等腰三角形.又在底
面上的射影在线段上且靠近点,,,
和底面所成的角为.
(Ⅰ)求点到底面的距离；
(Ⅱ)求二面角的大小.
解：(Ⅰ)∵在底面上的射影在线段上且靠近点,
∴
底面.连
,则
.设
,
为的中点,
则
,
.∴在中,
.在
中,
.
在
中,
,解得
.故点到底面的距离为
.
(Ⅱ)∵,∴
.过作
于,连结
,则
为二面角
的平面角.∵
,∴
,
∴二面角的大小为
.
20.(本小题满分12分)
已知一列非零向量满足,.
(Ⅰ)证明：数列是等比数列；
(Ⅱ)设,,,求.
(Ⅰ)证明：
,
∴
,且
,∴数列是公比为
的等比数列.
(Ⅱ)解：∵
,
∴
,∴
,∴
.
即
.
21.如图,点为双曲线的左焦点,左准线交轴于点,点
是上一点.已知,且线段的中点在双曲
线的左支上.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程；
(Ⅱ)若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两
点,设,当时,求直线的斜率的取值范围.
解：(Ⅰ)设双曲线的方程为
,则
①,
,∴
②.又
在双曲线上,
∴
③.由①②③解得,
,故双曲线的方程为
.
(Ⅱ)
,设
,
,直线的方程为
,则由,得
,
.由
,得
.∴
,
,
.由,,,
消去
,得
.∵
,函数
在
上单调递增.
∴
,
.又直线与双曲线交于两支, 的
两根同号,∴
.∴
,解得
或
.
故斜率的取值范围为
.
22.(本小题满分14分) 已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的极值；
(Ⅱ)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)由题意得,
.由函数的定义域为
,
∴
,
.∴函数有极小值
.
(Ⅱ)∵,∴
.
当时,
,∴
.即
时,
恒成立.又易证
在
上恒成立,∴
在上恒成立.当
时取等号,
∴当时,
,∴由上知
.故实数的取值范围是
.