高考数学模拟考试试卷
理科数学
一、选择题：（每小题5分，共50分）
1．设复数
满足关系式
，那么等于
A.
B.
C.
D.
2．已知等差数列
中，
，
，则
的值是
A.15 B.22 C.31 D.64
3．若命题
：
，则
是
A.
B.
C.
D.
4．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同
的参观路线种数共有
A. 6种 B. 8种 C. 36种 D. 48种
5．已知空间直角坐标系
中有一点
，点
是
平面内的直线
上的动点，则
两点的最短距离是
A.
B. 
C.3
D.
6．若不等式
对任意正整数
恒成立，则实数
的取值范围是
A. 
B.
C. 
D. 
7．点
在由不等式组
确定的平面区域内，
所在平面
区域的面积是
A. 1 B. 2 C. 4 D.8
8．如图，三棱锥
中，
平面
，
，
，
，则三棱锥的外接球表面积为
A. 
B. 
C. 
D. 
9．设
是
内任一点，且
设
的面积分别为
，且
，则在平面直角中坐标系中，以
为坐标的点
的轨迹图形是
 | |||||||
 |  |  | |||||
10．对于集合
、
, 定义
，
，设集合
，
，则
等于
A. 
B.
C. 
D.
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．如图所示两个带指针的转盘，每个转盘被分成5个
区域，指针落在5个区域的可能性相等，每个区域
内标有一个数字，则两个指针同时落在奇数所在区
域内的概率为 ．
12．函数
在
上的最大值为
.
13．设
，则
.
14．点是双曲线
和圆
的一个交点，且
,其中
是双曲线
的两个焦点，则双曲线的离心率为
。
15．函数
(其中
)，
是
的小数点后第位数字，
，
则
的值为
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
已知函数
的图象（部分）如图所示，
（1）试确定
的解析式；
（2）若
求
的值。
17．(本小题满分12分)
抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列，使
，记
.
（1）求
的概率；
（2）若
，求的概率.
18．（本小题满分12分）
| |
中，
，
，
为
的中点，沿
将△
折起到
△
的位置，使得直线
与平面成30°角.
（1）若点
到直线
的距离为1，求二面角
的大小；
（2）若
，求边的长.
19．(本小题满分12分)
已知函数
在
上最小值是
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明：
；
（3）在点列
中是否存在两点
，使直线
的斜率为1？若存在，求出所有的数对
；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分13分）
某水库年初的存水量为
，其中污染物的含量为
，该年每月降入水库的
水量与月份
的关系是
（
），且每月流入水库的污水
量
，其中污染物的含量为
，又每月库水的蒸发量也为（假设水与污染物能充
分混合，且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它用）.
（1）求第个月水库含污比
的表达式（含污比
）；
（2）当
时，求水质最差的月份及此月份的含污比.
21．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆
:
的离心率为
，左、右焦点分别为
和
，椭圆与轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点（不与点A、B重合），且∠APB=
，∠F1PF2
.
（1）若
，三角形F1PF2的面积为
，求椭圆的方程；
（2）当点在椭圆上运动，试证明
为定值.
参考答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | B | A | D | B | A | C | A | A | C |
二、填空题:
11. 
; 12. 
; 13. 128; 14. 
15. 2;
三、解答题：
16．解：（1）由图象可知
， ∴T=2， 
…………3分
将点P（
）代入
，得
，又 
，
故所求解析式为 
………………………………………6分
（2）∵
， ∴
，即 
……………………8分
∴
………12分
17. 解：（1）设事件为A，则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数，
而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为
根据独立重复试验概率公式：
………………………………6分
（2）若
，即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数.
若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数，
其概率：
…………………………………………………………8分
若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：
…………………………………………………………………………10分
所求事件的概率
…………………………………12分
18．解：（I）由已知，OC⊥OB，OC⊥OA′从而平面A′OB⊥平面ABC.
过点A′作A′D⊥AB，垂足为D，则A′D⊥平面ABC，
∴∠A′ED=30°，又A′O=BO=1，∴∠A′OD=60°，从而A′D=A′Osin60°=
.
过点D作DE⊥BC，垂足为E，连结A′E，据三垂线定理，A′E⊥BC.
∴∠A′ED为二面角A′—BC—A的平面角.
由已知，A′E=1，在Rt△A′DE中
∴∠A′ED=60°故二面角A′—BC—A的大小为60°. ………………………………6分
（II）设BC=，∠A′CB=θ，则A′C=，∠OCB=π－θ.
|
在△A′DB中，A′B=
在△A′BC中，A′B2=A′C2+BC2－2A′C·BC
………………………………………………………12分
19．解：（1）由得
，令
，
当
时，
； 当
时，
，
∴在
上，当
时取得最小值
，∴
………4分
（2）证明：∵
∴
………………………………………………8分
（3）不存在. 假设存在两点
满足题意，即
,
令
，则
，故点都在双曲线
上，
而双曲线的一条渐近线方程为
，其斜率为1，这显然不可能，所以这样的两点不存在。………………………………………………………………………………………………12分
20．解：（1）第x月水库含污染物
，库容总量=
当
此时库容量
当
此时，库容总量
∴ 
…………………………………6分
（2）∵，
，当
时，
易证
上是减函数，且恒大于零，
∴
上是增函数 ∴当
时，
当
时，
易证
在
上是减函数，且恒大于零.
∴
上是增函数 ， 当x=12时，
.
∵， ∴
.
∴水质量最差的是12月份，其含污比为
……………………………………13分
21．解：（Ⅰ）由于三角形F1PF2为直角三角形，则
，
即
，
三角形F1PF2的面积为，∴ 
，即
，
，即
， ∴
.
椭圆C的离心率为，则
，即
， ∴
，
∴椭圆的方程为
．……………………………………………………7分
（Ⅱ）不妨设点
在第一象限，则在三角形
中，
，
∴
,
即
，
∴
.
.
， ∴
，即
.
作
轴，垂足为.
，
，
∴
.
， ∴
. ∴
.
∴
，离心率
，∴
.
∴是定值, 其值为
. ……………………………………………………14分