高考数学模拟考试题（理科卷1）长沙宁
时量120分钟 总分150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案填在第II卷指定的位置上）
1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={0，1，3}，则（ ）
（A）A∪CUB=U
（B）CUA∩B=
（C）CUA∩CUB=U
（D）CUA∩CUB=
2．已知函数y=f(x)的反函数为f－1(x)=2x+1，则f(1)等于（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）4
3．在等比数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于（ ）
（A）27 （B）－27 （C）81或－36 （D）27或－27
4．在△ABC中，∠A=60°，b=1，这个三角形的面积为
，则ABC外接圆的直径是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．[x]表示不超过x的最大整数，（例如[5.5]=5，[－5.5]=－6），则不等式[x]2－5[x]+6≤0的解集是（ ）
（A）（2，3） （B）
（C）[2，3] （D）[2，4]
6．抛物线y2=4x按向量e 平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ）
（A）（4，2） （B）（2，2） （C）（－2，－2） （D）（2，3）
7．线段AB的端点A、B到面
的距离分别是30cm和50cm，则线段AB中点M到平面的距离为（ ）
（A）40cm （B）10cm （C）80cm （D）40cm或10cm
8．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：y=－22x+2x+1，对于实数K∈B，在集中A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）
（A）k>1 （B）k≥1 （C）k<1 （D）k≤1
9．圆x2+y2－2x－6y+9=0关于直线x－y－1=0对称的曲线方程为（ ）
（A）x2+y2+2x+6y+9=0 （B）x2+y2－8x+15=0
（C）x2+y2－6x－2y+9=0 （D）x2+y2－8x－15=0
2x (x≤1)
10．已知函数f(x)= ，则函数y=f(1－x)的图象是（ ）
x (x>1)
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。请把答案填在第II卷指定的位置上）
11．设数列{an}的通项公式为an=n2－an，若数列{an}为单调递增数列，则实数a的取值范围为
（A）a<2 （B）a≤2 （C）a<3 （D）a≤3
12．已知向量a = e1－e2，b = 4 e1+ 3 e2，其中 e1
=(0，1)， e2=(0, 1) ，则 a 与 b的夹角的余弦值等于
。
13．直线
与椭圆x2+2y2=2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线的斜率为k1（k1≠0），OP的斜率为k2，则k1k2的值为
1（x>0）
14．定义符号函数sgnx= 0 (x=0) ，则不等式x+2>(x－2)sgnx的解集是 。
－1 (x<0)
15．已知直线⊥平面
，直线m
平面
，有下面四个命题：
①∥
⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥
其中正确命题序号是
三、解答题
16．已知函数
（a、b、
）的图象按
＝（-1，0）平移后得到的图象关于原点对称，f（2）＝2，f（3）＜3． 求a、b、c的值；
17．在△ABC中，已知角A、B、C所对的三边a，b，c成等比数列．
（1）求证：
；
（2）求函数
的值域．
18．已知等差数列
的首项
，且公差d＞0，第二项、第五项、第十四项分别是等比数列
的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列
对任意自然数n均有
成立，求
的值．
19．如图，△ABC中，AC＝BC，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，F为BE的中点，DF∥平面ABC，
（1）求CD的长；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面ADF与平面ABC所成的二面角的大小．
20．袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n的球重
（克）．这些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．
（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；
（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率．
21．如图：已知△OFQ的面积为
，且
，
（1）若
时，求向量
与
的夹角
的取值范围；
（2）设
，
时，若以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，当
取得最小值时，求此双曲线的方程．
参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | C | D | A | B | B | D | A | B | C |
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.a<3 12．
13. －
14.{x∈Rx>－
}
15.①③
三、
16．（1）函数f（x）的图象按
（-1，0）平移后得到的图象的函数式为
，因为其图象关于原点对称，所以
，即
，因为
N，所以
＞0，所以-bx＋c＝-bx-c，所以c＝0，又因为f（2）＝2，所以
，a＋1＝2b，a＝2b-1……①，又
，4a＋1＜6b……②，由①②及a、b
N得a＝1，b＝1．
17．（1）因为a、b、c成等比数列，所以
，由余弦定理得：
，又因为∠B（0，
），所以0＜∠B≤
． （2）由
，因为0＜∠B≤，所以
，所以
，即原函数的值域是（1，
18．（1）由题意得：
，解得：d＝2，所以
，易得
． （2）由题意得：
，所以
，所以由错项相消法得
19．（1）取AB中点G，连FG、CG，则FG∥AE，又AE和CD都垂直于平面ABC，所以AE∥CD，所以FG∥CD，所以F、G、C、D四点共面．又平面
平面ABC＝CG，DF∥平面ABC，所以DF∥CG，所以四边形FGCD是平行四边形，所以
． （2）直角三角形ABE中，AE＝AB，F是BE的中点，所以AF⊥BE，又△ABC中，AC＝BC，G是AB中点，所以CG⊥AB，又AE垂直于平面ABC，所以AE⊥CG，又
，所以CG⊥面ABE．因为DF∥CG，所以DF⊥面ABE，所以AF⊥DF，又因为
，所以AF⊥面BED，所以AF⊥BD． （3）设面
面ABC＝L，因为DF∥平面ABC，所以DF∥L，又DF⊥面ABE，所以L⊥面ABE，所以L⊥AF，L⊥AB，所以∠FAB即为二面角的平面角．直角三角形ABE中，易得∠FAB＝45°，所以平面ADF与平面ABC所形成的较小的二面角为45°
20．（1）由不等式
得n＞15，n＜3，由题意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．于是所求概率为
（2）设第n号与第m号的两个球的重量相等，其中n＜m，则有
，所以
，因为n≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），但从35个球中任取两个的方法数为
，故，所求概率为
21．（1）由已知，得
所以
，因为，所以
，则
． （2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设所求的双曲线方程为
，（a＞0，b＞0），Q点的坐标为（
，
），则＝（
，），因为△OFQ的面积
，所以
，又由
（c，0）（，）
，所以
，
，当且仅当c＝4时，最小，此时Q的坐标为（
，），由此可得
解之得
故所求的方程为