高考数学模拟考试题（文科卷5）
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题 ：
1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={0，1，3}，则（ ）
（A）A∪CUB=U
（B）CUA∩B=
（C）CUA∩CUB=U
（D）CUA∩CUB=
2．已知函数y=f(x)的反函数为f－1(x)=2x+1，则f(1)等于（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）4
3．在等比数列{an}中，a1+a2=1，a3+a4=9，那么a4+a5等于（ ）
（A）27 （B）－27 （C）81或－36 （D）27或－27
4．在△ABC中，∠A=60°，b=1，这个三角形的面积为
，则ABC外接圆的直径是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．[x]表示不超过x的最大整数，（例如[5.5]=5，[－5.5]=－6），则不等式[x]2－5[x]+6≤0的解集是（ ）
（A）（2，3） （B）
（C）[2，3] （D）[2，4]
6．抛物线y2=4x按向量e 平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ）
（A）（4，2） （B）（2，2） （C）（－2，－2） （D）（2，3）
7．线段AB的端点A、B到面
的距离分别是30cm和50cm，则线段AB中点M到平面的距离为（ ）
（A）40cm （B）10cm （C）80cm （D）40cm或10cm
8．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：y=－22x+2x+1，对于实数K∈B，在集中A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）
（A）k>1 （B）k≥1 （C）k<1 （D）k≤1
9．圆x2+y2－2x－6y+9=0关于直线x－y－1=0对称的曲线方程为（ ）
（A）x2+y2+2x+6y+9=0 （B）x2+y2－8x+15=0
（C）x2+y2－6x－2y+9=0 （D）x2+y2－8x－15=0
2x (x≤1)
10．已知函数f(x)= ，则函数y=f(1－x)的图象是（ ）
x (x>1)
二、填空题
11.已知函数f(x)=2
,则使得数列
成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为
.
12．已知向量a = e1－e2，b = 4 e1+ 3 e2，其中 e1
=(0，1)， e2=(0, 1) ，则 a 与 b的夹角的余弦值等于
。
13．直线
与椭圆x2+2y2=2交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线的斜率为k1（k1≠0），OP的斜率为k2，则k1k2的值为
1（x>0）
14．定义符号函数sgnx= 0 (x=0) ，则不等式x+2>(x－2)sgnx的解集是 。
－1 (x<0)
15．已知直线⊥平面
，直线m
平面
，有下面四个命题：
①∥
⊥m；②⊥∥m；③∥m⊥；④⊥m∥
其中正确命题序号是
三、解答题（本大题共6题80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题共12分） 已知函数f(x)=
(a∈R且x≠a)
（1）当f(x)的定义域为[a+
，a+1]时，求f(x)的值域。
（2）设函数g(x)=x2+(x－a)f(x)，求g(x)的最小值。
17．（本题共12分，第①小题4分，第②小题4分，第③小题4分）
已知f(x)=2sin(x+
)cos (x+)+2cos2(x+)－
①求f(x)的最小正周期
②若0≤
≤
求使f(x)为偶函数的的值。
③在②条件下，求满足f(x)=1,
x∈[－
]的x的集合。
18．（本题14分。第①题7分，第②题7分）
如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AA1=AB，点E、M分别为A1B，C1C的中点，过A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N。
①求证：EM∥A1B1C1D1
②求二面角B—A1N—B1正切值。
19、（本题14分） 设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1－an}（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2} (n∈N*)是等比数列。
（1）设Cn=an+1－an，求数列{Cn}的通项公式
（2）求数列{an}和{bn}的通项公式。
（3）设f(n)=an－bn，当n≥4时，试判断f(n)的增减性。
20．（本题14分）某学校为了解决教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总面积为A（m2）的宿舍楼。已知土地的征用费为2388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍。经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2。试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。（总费用为建筑费用与征地费用之和。）
21．（本题14分 ）
已知椭圆C1：
=1（a>b>0）的一条准线方程为
。其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：=1的一条渐近线方程为3x－5y=0。
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率。
（2）在第一象限内，取双曲线C2上的一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=MP，求证：MN·AB=0
高三数学参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | C | D | A | B | B | D | A | B | C |
二、填空题（ 每小题4分，共20分）
11.p=q. 12．
13. －
14.{x∈Rx>－
}
15.①③
二、解答题（本大题共6题80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16． （1） 当a+≤x≤a+1时，－a-1≤-x≤-a-,-1≤a-x≤-,-2≤
则－3≤－1+
≤－2，即f(x)值域为[－3，－2]…………………6分
（2）解：g(x)=x2+x+1－a(x≠a)=
……………8分
当x≥a－1且x≠a时，g(x)=x2+x+1－a=(x+)2+
如果a－1=－即a≧时，则函数在[a－1,a]和（a,+
）上单调调递增
g(x)min=g(a－1)=(a－1)2
如果a－1<－即a<且a≠－时，g(x)min=g(－)=
－a
当a=－时，g(x)最小值不存在………………………………………………10分
当x<a－1时g(x)=x2-x－1+a=(x－)2+a－
如果a－1>即a>
时，g（x）min=g()=a－
如果a－1≤即a≤
时g(x)在（－,a－1）上是减函数，g(x)>g(a－1)=
(a－1)2……………………………………………………………………………10分
当a>时(a－1)2－(a－)=（a－）2>0,即（a－1）2>(a—)
当a<且a≠－时，(a－1)2－(－a)=(a－)2>0,即(a－1)2>( －a)……………………………………………………………………………………13分
综合得：
a<且≠－是g(x)最小值是－a
当≤a≤时 g(x)最小值是(a－1)2
当a>时 g(x)最小值为a－
当a=－时 g(x)最小值不存在…………………………………………………12分
17．解：①f(x)=sin(2x+)+[2cos2 (x+－1)]
=sin (2x+)+cos (2x+)=2cos (2x+－
)…………………（3分）
（或f(x)=2sin(2x++
)）
∴f(x)的最小正周期为
…………………………………………4分
②f(－x)=cos (－2x+－)=cos[2x－(－)]=cos2xcos (－)+sin2xsin(－)
f(x)=cos(2x+(－)=cos2xcos(－)－sin2xsin(－)……………………（6分）
∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x)即sin2xsin(－)=0，∴sin(－)=0
∵0≤≤，－≤－≤
，∴(－)=0，=………………………（8分）
③由f(x)=1得2cos2x=1，∴cos2x=………………………………（10分）
∵x∈[
，]，∴x=±或x=±
所以x的集合是{－，，－，}…………………………（12分）
18．解：（I）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F
|
BB1………………………………2分
|
∴四边形EFC1M为平行四边形
∴EM∥FC1……………………4分
而EM
平面A1B1C1D1，FC1平面A1B1C1D1
∴EM∥平面A1B1C1D1……………………5分
（II）由（I）EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N∥EM∥FC1
∴N为C1D1中点
过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N
∴∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角…………………8分
设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形
∴A1N=a，又∵△A1B1H∽△NA1D1 ∴B1H=
在Rt△BB1H，tan∠BHB1=
=
=
即二面角B—A1N—B1的正切值为
……………………………………14分
（B）（I）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a（a >0），则
A1(2a，0，a)，B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，2a，a）………………2分
∵E为A1B的中点，M为CC1的中点 ∴E（2a，a，
），M（0，2a，）
∴EM∥平面A1B1C1D1……………………………………5分
（II）设平面A1BM的法向量为n=（x，y，z）
又A1B=（0，2a，－a） BM=（－2a，0，）
|
由n⊥A1B，n⊥BM，得
2ay－az=0
，∴
－2ax+
=0
∴取n=（
）………………………………9分
而平面A1B1C1D1的法向量n1=（0，0，1），设二面角为，则
又：二面角为锐二面角 ∴cos=
，……………11分
从而tan=………………………………………………………………14分
19、解：（I）由已知a2－a1=－2，a3－a2=－1，则{Cn}的公差为1………………1分
∴an+1－an=（a2－a1）+（n－1）=n－3，即Cn=n－3……………………3分
（II）n≥2时，an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+…+（a2－a1）+a1
=（n－4）+（n－5）+…+（－1）+（－2）+6=
当n=1也适合上式，∴an=（n∈N*）………………………………5分
又b1－2=4、b2－2=2。而
∴bn－2=（b1－2）·
即bn=2+
∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an=，bn=2+…………7分
（III）
f(n)=an－bn=
－
n+7－8·
………………………………8分
f（n+1）－f（n）
=[(n+1)2－(n+1)+7－8·
]－[－n+7－8·]
=n－3+22－n…………………………………………10分
当n≥4时，由n－3>0，2n－3>0，f（n+1）－f（n）>0……………………11分
故当n≥4时，f(n)单调递增…………………………………………12分
20．解：设楼高为n层，总费用为y元，则征地面积为
，征地费用为
元………………2分
楼层建筑费用为{445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+[445+30×（n－2）]}·
=（15n+
+400）A……………………………………6分
从而y=+15Na+
+400A…………………………8分
y=（15n+
+400）A≥1000A（元）………………………………10分
当且仅当15n=，n=20（层）时，总费用y最少。
故当这幢宿舍档的楼高层数为20层时总费用最少，最少总费用为1000A元。……14分
21．解：（I）由已知
解之得：
………………………3分
∴椭圆的方程为
=1，双曲线的方程
又C
=
∴双曲线的离心率e2=
………………………6分
（Ⅱ）由（I）A（－5，0），B（5，0）。设M（x
）则由
得M为AP
的中点
∴P点坐标淡（2x
）将M、P坐标代入c1、c2方程得 
消去y0得2x
+5x
-25=0解之得x0=
或x0= -5(舍) 由此可得P（10，3）当P为
（10，3）时，PB：y=
代入
得：2x2－15x+25=0 x=或x=5（舍）
∴xN=
∴xN= xM MN⊥x轴 即
………………………（14分）