高考数学二轮复习指数对数函数性质综合考查
一.指数、对数函数的图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质）
二.高考题热身
1.（05江苏卷）函数
的反函数的解析表达式为(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
2. （05全国卷Ⅰ）设
，函数
，则使
的
的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3. (05 全国卷III)若
,则( )
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c
4. （07福建卷）函数
的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. （05湖北卷）函数
的图象大致是 （ ）
6.（05江西卷）函数
的定义域为 （ ）
A．（1，2）∪（2，3） B．
C．（1，3）
D．[1，3]
7．（06广东卷）函数
的定义域是
A.
B. 
C. 
D. 
8.（06湖北卷）设
，则
的定义域为
A．
B．
C．
D．
9．（06湖南卷）函数
的定义域是( )
A.(3,+∞) B.[3, +∞)C.(4, +∞) D.[4, +∞)
10. (06陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
11 . 34.（天津卷）设
，
，
，则（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
12.（浙江卷）)已知
，则
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
三．典型例题
例1.（07天津卷）已知函数
的图象与函数
（
且
）的图象关于直线
对称，记
．若
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2.（06天津卷）如果函数
在区间
上是增函数，那么实数的取值范围是（） Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
例3.(06上海卷)方程
的解是_____.5
例4.(07重庆卷)设
，函数
有最小值，则不等式
的解集为
。x>2
例5. (06重庆卷)已知定义域为R的函数
是奇函数。（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求k的取值范围；
解析：（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
，
易知f(x)在
上为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：
等价于
，
因
为减函数，由上式推得：
．即对一切
有：
，
从而判别式
解法二：由（Ⅰ）知
．又由题设条件得: 
，
即 ：
，
整理得 
上式对一切均成立，
从而判别式
例6.证明不等式：
例7．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log
3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3
)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
解: (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，
则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，
又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，
∴ k·3＜-3+9+2，3
-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t
-(1+k)t+2＞0
对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
例8.在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(
)x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由
解
(1)由题意知 an=n+
,∴bn=2000()
(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2
则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,
即()2+()－1>0,
解得a<－5(1+
)或a>5(
－1) ∴5(－1)<a<10
(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7∴bn=2000(
) 数列{bn}是一个递减的正数数列，
对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1 于是当bn≥1时，Bn<Bn－1,当bn<1时，Bn≤Bn－1,
因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1,
由bn=2000(
)≥1得 n≤20 8 ∴n=20
例9.已知
，设P：函数
在x∈(0,+∞)上单调递减；Q：曲线
与x轴交于不同两点，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围。
例10.（06福建卷）已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。
本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。
本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质
的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。
解：（I）
当t+1<4即t<3时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，
当
即
时，
当t>4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，
综上，
（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
当
时，
是增函数；
当
时，
是减函数；
当
时，是增函数；
当x=1或x=3时，
当x充分接近0时，
当x充分大时，
要使
的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
即
所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15-6ln3)