1、已知函数y=
满足
，且方程=0有n个实根x1,x2,…xn,则x1+x2+…+xn= 3n 。
解：由可得y=的图像图像关于x=3对称。
当n为偶数时，方程=0有n个实根x1,x2,…xn两两成对出现，且成对两根之和为6，
所以x1+x2+…+xn=6×
=3n
当n为奇数时，方程=0有n个实根中必有一根为3，其余n-1个根两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x1+x2+…+xn=3+3（n-1）=3n
故x1+x2+…+xn=3n。
2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．则共有 30 种不同的染色方法。
解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤
第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有
①、②④、③⑤ ②、①④、③⑤
③、①④、②⑤ ④、①③、②⑤
⑤、①③、②④
故共有五组
第二步：将三种颜色对应三组进行全排列A
=6
由分步计数原理得共有5×6=30种。
3、如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且
，
=
+
则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ( B )
A.
B. 
C. D.
图1 图2
解：如图2设
,
则
由平行四边形法则知NP∥AB，所以
=，同理可得
。
故
即选B.
4、设x>1，S=min｛logx2，log2（4x3）｝则S的最大值为 3 。
解：由题设知S
logx2，S log2（4x3），且S>0则
S log2（4x3）=2+3log2x=2+
2+
，
于是S2-2S-30得-1S3当x=
时取等号。
5、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，C点在AB上且OC是∠AOB的角平分线,则
= （-
，
） 。
解：由题设知
=（0，1），
=（-3，4）
OC是∠AOB的角平分线
可设=
（
）=+
又C点在AB上
所以+=1解得=
故=+
=（-，）
6、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（D ）
（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013
解：当正整数为两位数时，有
个
当正整数为三位数时，有
个
………
当正整数为十位数时，有
个
由分类计数原理得共有正整数++…+=210-
-
=1013
故选D。
7、已知
,设
,记
(1)求证：tan
=2tan
(2)求 的表达式;
(3)定义正数数列｛an｝;a1=2，
=2
（n
）。
试求数列
的通项公式。
解：（1）由，得sin
=3sin
，即
sincos=2cossin
故tan=2tan
（2）由tan=2tan得
即
。解得
y=
故
=
（3）因为=2=2
，
所以
=
+1即-2=（-2）
因此{-2}是首项为2，公比为的等比数列。
所以-2=2
故an=
。
8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足 
、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆
交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
，求椭圆实轴长的取值范围.
解：（1）设
即点C的轨迹方程为x+y=1 。
（2）
得：（a2+b2）x2-2a2x+
a2- a2b2=0
设M（x1,y1）,N（x2,y2），则“
x1+ x2=
， x1x2=
因为以MN为直径的圆过原点为，
所以
=0，即x1x2+y1y2=0
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+
x2）+2 x1x2=1-+2=0
即a2+b2-2 a2b2=0
∴
（3）
∴椭圆实轴长的取值范围是（0,
。