高考数学最后冲刺训练1

高考数学最后冲刺训练

　　　　　　　　  撰稿：王思俭（苏州中学 特级教师 教研组长）

联想与激活（1）

1．设集合M=｛x＜5｝，N=｛x＞3｝，那么“｛xM或xN｝是“x∈MN”的 （　　 ）

A．充分非必要条件　　　　　　　  B．必要非充分条件　　　　 

 C．充要条件　　　　　　　　　　 D．既非充分条件又非必要条件

联想：（1）α≠是sinα≠sin的

A．充分非必要条件　　　　  B．必要非充分条件

C．充要条件　　　　　　　　 D．既非充分又非必要条件

（2）函数f (x) 的导函数f′(x) ＞0是f(x)单调递增的（　　　　）

A．必要非充分条件　　　　　　  B．充分非必要条件　　　　

C．充要条件　　　　　　　　　  D．既非充分又非必要条件

（3）下列给出四个命题：

①　　 对于实数m和向量,,恒有:m(－)=m－n; ②对于实数m,n和向量,恒有：（m－n）=m－n; ③若m=m(mR),则：=; ④若m=n（m,nR, ≠），则m=n。其中正确命题的个数是（　　　）

A．1　　　　  B．2　　　　  C．3　　　　 D．4

2．已知偶函数y=log_a 在（－，0）上递增，则a、b分别满足（　　 ）

A．a＞1, b＞0　　　　  B.a＞1,bR　　 C.0＜a＜1,b=0　 D．a＞1，b=0

联想：（1）函数y=f(x)=log(2x+1)在（－）上是单调递增函数，则实数a的取值范围是___________________.

（2）已知函数f(x)=log_a(x－k)的图象过点（4，0），又反函数的图象过点（1，7），则f(x)是（　　　）

A．增函数　　　　B．减函数　　　　 C．奇函数　　　　D．偶函数

（3）已知f^－1（x）是f(x)的反函数，f(x)过点（4，1），则f^－1(x+3)必过点

A．（1，4）　　　B．（4，－2）　　　　 C．（－2，4）　　　 D．（4，1）

（4）函数f(x)=a+b^x－1(b＞0且b≠1)的图象过点（1，3），f^－1(x+a)(x＞0)的图象过点（4，2），则

f^－1(x)=_______________________.

3.函数y=sin(2x－1)的图象由y=sin(2x+1)的图象怎样变化而得到？（　　 ）

A．向左平移2个单位　　　　　　　　　　  B．向右平移2个单位　　　

C．向左平移1个单位　　　　　　　　  　D．向右平移1个单位

联想：（1）已知f(x)=sin(x+),g(x)=cos(),则f(x)的图象(　　 )

A.与g(x)的图象相同　　　 B.与g(x)的图象关于y轴的对称

C. 是由g(x)的图象向左平移个单位得到的.

 D. 是由g(x)的图象向右平移个单位得到的.

(2)要想得到y=2sin2x的图象,只需要把函数y=4sin(x+) cos(x+)的图象(　　  )

A.向左平移个单位　　　 B.向右平移个单位　　

C.向左平移个单位　　　　  D.向右平移个单位

(3) 要得到y=cos(2x+)的图象,只需把y=sin(2x－)的图象向____________ 平移_________ 而得到．

4.设（5x－x）ⁿ的展开式的各项系数之和为M，而二项式系数之和为N，且M－N=992。则展开式中x²项的系数为（　　　）

A．250　　　　　　　 B．－250　　　　　　  C．150　　　　  D．－150

联想：（1）已知（1－2x）⁶=a_0­+a₁x+a₂x²+------+a₆x⁶,则+…+的值（　　）

A．1　　　　 B．2⁶　　　　C．3⁵ D．3⁶

（2）设（2x+）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则（a₀+a₂+a₄）²－(a₁+a₃)²的值为（　　　）

A．2　　　　 B．－2　　　　C．1　　　 D．－1

（3）已知（x+x^lgx）⁵展开式中第3项为10⁶，则x的值为（　　　）

A．10　　　　B．100　　　　C．10或10　　　　 D．10

（4）若（x+）ⁿ的展开式中第三项系数为36，则自然数n的值为_____________.

5.直线与平面α内共点的三条直线a、b、c分别成等角，那么与平面α所成的角为（　　）

A．　　　　  B．　　　　  C．　　　 D．

联想：（1）三条两两异面直线，且两两成角相等，这三条直线与平面α都平行，则它们所成的角为_______________.

(2)  两条异面直线a、b所成的角为，过空间一定点P的直线有且仅有三条与a、b所成的角为75⁰，则a与b所成的角为_______________.

6.如图，E，F，M，N是正方体的四个顶点，记d₁为F到面FMN的距离，d₂为E面EMN的距离，d₃为M到面EFN的距离，那么d₁,d₂,d₃的大小关系为（　　　　 ）

A．d₁＜d₂＜d₃  B．d₂＜d₃＜d₁

C．d₂＜d₁＜d₃  D．d₃＜d₂＜d₁

联想：（1）三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积为V，P、Q分别为AA₁、CC₁上的点，而且满足PA=QC₁，则V_B－APQC=(　　　　)

A.　　　　　  B.　　　　 C.　　　　　　 D.

（2）如图，多面体ABCDFE中，ABCD是边长为3的正方形，EF∥平面ABCD，EF=，EF到面ABCD的距离为2，则多面体的体积为（　　　　）

A．　　　　　 B．5　　　　C．6　　　　  D．

7．光线从点P（2，3）射到直线y=－x－1上，反射后经点 Q（1，1），则反射光线方程为（　　　）

A．x－y+1=0　　　　　　 B．4x－5y+31=0　　　　 C．4x－5y+16=0　　D．4x－5y+1=0

联想：（1）光线x－2y+5=0遇到直线3x－2y+7=0即行反射，光线与反射光线所夹角是（　 ）

A．2arctan　　　　  B．　　　　  C．2 arctan　　  D．

(2)如图 光线从点P（1，3）入射到y轴后即行反射，射到x轴上再即行反射，最后一次的反射光线经过点Q（5，2），则第一次反射光线方程为____________________.

8．若x[0,3]时，不等式a≥x²－2x－1恒成立，则实数a的最小值是(　　　　)

A．－2　　　　　  B．2　　　　　  C．－1　　　　　　 D．不存在

  联想：若ax+2≥20x－x²在（0，+）恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　 　。

9．在A·P｛a_n｝中，a₁+a₃=4，a₄+a₆= －2，如果a_n=log₃b_n，则()=　　　　　　　  。

  联想：等差数列｛｝中，a₁－a₄+a₆+a₁₀－a₁₂+a₁₅=2，则前15项的和为S₁₅=（　　 ）

  A．－15　　　　　　　　　 B．15　　　　　　 C．－30　　　　　　　  D．30

10．正方体的8个顶点中， 任何两点的连线中有　　  对异面直线。

  联想：（1）某市要组成一支有12名运动员的篮球队，这些队员要从7所不同的学校选出，每校至少一人，则有　　　　 种不同的选派方案。

（2）某仪表显示屏上排有七个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻两个孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示的不同信号的种数是　　　 。

11．椭圆的一个焦点为圆心，焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则此椭圆的离心率e=　　　 。

  联想：（1）双曲线中，左焦点为F，右顶点为A，虚轴顶点为B，若BF⊥AB，则离心率e=　　　　 。

（2）椭圆（a＞b＞0）的两个顶点A（a,0）,B(0,b)，若右焦点F到直线AB的距离为，则离心率e=　　　 。

12．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（　　 ）

  A．5　　　 　　　　 B．10　　　　　　　　 C．14　　　　　　  D．15

  联想：某公司一月份推出新产品A，成本为400元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

销售价（x元/件）	650	662	719	800	900
销售量（y件）	350	338	281	200	100

据此，写出x与y可满足的一个函数关系式　　　　　　　　 ；

并据此，应将销售价定为　　　　 元时，利润最大。

13．袋内有9个白球和3个红球，从袋内任意地顺次取出三个球（取出后不放回）。　　

（I）求第三次取出的球是白球的概率

（II）当第三次取出的球是白球时，问第一次取出的球是白球的概率是多少？

  联想：如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，

且是相互独立的，求灯亮的概率。

14．设数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且a_2­≠a₁，证明：｛a_n｝是首项为1的等比数列的充要条件是存在非零常数a,b满足S_n=a+ba_n且a+b=1

  联想：数列｛a_n｝中，其前n项和为S_n，当n≥1时，S_n+1是a_n+1与S_n+1+k的等比中项（k≠0）

（I）求证：对于n≥1有

（II）设a₁=，求S_n的表达式。

（III）设a₁=，且｛｝成等差数列，求证：是与k无关的常数。

　　

　　　　　　　　　　 　　  联想与激活（2）

1．函数f (x)=log_0.5(sinxcosx)的单调递减区间是（以下k∈Z）（　　 ）

A．（k－,k）　　　　　　 B．

C．　　　　　　　 D．

　联想：（1）函数y=cos()的单调递增区间为（　　 ）

A．[4]　　　　　　 B．[]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

C．[]　　　　　　 D．[] （以上k∈Z）

（2）函数f (x)=lg(sinx－cosx)的单调递减区间为　　　　。

2．函数f (x)=的最小正周期为（　　 ）

A．2　　　　　　　  B．　　　　　　 C．　　　　　 D．以上都不对

联想：（1）函数f (x)=sin()·cos()的最小周期为（　　 ）

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　  D．2

（2）函数y=sin⁶x+cos⁶x的最小正周期为　　　　  。

（3）函数y=tan的最小正周期为　　　　。

（4）已知函数f (x)是以2为周期的偶函数且当x∈(0,1)时，f (x)=x+1，则f (x)在（1，2）上的解析式是（　　 ）

A．f (x)=1－x　　　　  B．f (x)=3－x　　　C．f (x)=x－3　　　　D．f (x)=－x－1

3．设sin (α+2β)=5sinα,则tan(α+β)：tanβ=　　　 。

  联想：（1）已知：tan(α+β) =4，tan(α－β)=2，那么tan2α=　　　 .

（2）,tan，则之值为　　　　　　 。

（3）已知：，则的值为（　　 ）

A．　　　　　　　 B．　　　　  C．　　　　D．

（4）在△ABC中，若sinA=,cosB=，则cosC的值为（　　 ）

  A．　　　　B．或　　 C．－　　　　D．－或－
4.不等式()²＜²的解集为　　　　　  .

  联想(1)不等式＜0的解集为　　　　  .

(2)不等式的解集为(　　 )

A.（3，+∞）　　　 B.（0，3）　　　 C.（1，2）　　　　D.（1，2）∪（3，+∞）

(3)已知定义在R上的偶函数f (x)在x∈上是增函数,且f ()=0,则满足f ()＞0的x的取值范围是(　　 )

  A．　　B．　　C．　　  D．

(4)不等式成立的充要条件是(　　 )

  A．a＞2,x＞1　　　　 B．a＞1,x＞1　　　　 C．a＞2,x＞0　　　　 D．x＞0

5.如果平面α外的两条异面直线a、b在平面α上的射影是两条平行直线，那么直线a、b与平面α的位置关系是（　　 ）

  A．仅有一条直线与平面α相交　　　　B．两条直线都与平面相交

C．两条直线都与平面α相交　　　　  D．至少有一条直线与平面α相交

  联想：（1）P为异面直线a、b外任一点，过P与a、b都平行的平面有（　　 ）

  A．唯一一个　　　　　 B．恰好两个　　　　  C．至多一个　　　　D．至少一个

（2）过平面外一直线作该平面的平行平面（　　 ）

A.只可能作一个　　　 B.至少作一个　　　C.至多作一个　　　 D.这样的平面不存在

（3）a、b是两异面直线，下列结论正确的是　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b都平行

B．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都相交

C．过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行

D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行

6．给出4个命题：

①到两定点距离之和为常数的动点的轨迹是椭圆；

②到两个定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线；

③到定直线x=和定点F（－c，0）的距离之比为(c > a >0)的点的轨迹是双曲线；

④到定点F（c，0）和定直线x=的距离之比为(a > c>0)的动点轨迹是椭圆；

  请将正确命题的代号都填在横线上　　　　　　 。

联想：（1）抛物线y² = 4x的焦点为F，准线交x轴于R点，过抛物线上一点P（4，4）作PQ⊥于Q，则梯形PQRF的面积是　　　　　　　　　　　　　　　　（　 ）

　　　　 A．12　　　　B．14　　　　C．16　　　　 D．18

　　 （2）过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A、B两点过A、B分别作左准线的垂线AA₁⊥于A₁，BB₁⊥于B₁，以轴将椭圆在空中旋转120⁰，则线段AB所扫过的曲面面积为　　　　　　　  。

　  （3）已知点A（3，2），F（2，0），在双曲线上求一点P，其坐标为　　　 时，的值最小。

7．已知正六棱锥的侧面与底面所成的角为α，侧棱与底面所成的角为β，则tanβ·cotα的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　A．　　　　　　　 B．　 　　　　　C．　　　　　　  D．

　联想：（1）已知三棱锥P—ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90⁰三棱锥侧面与底面所成的角分别为α₁，α₂，α₃，则下列各式中正确的是　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　　　A．sinα₁sinα₂sinα₃=　　　　　　  B．sin²α₁+sin²α₂+sin²α₃=1

C．cosα₁cosα₂cosα₃=　　　　　　 D．cos²α₁+cos²α₂+cos²α₃=1

（2）正三棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是　　　　　　 （　 ）

A．（0，+∞）　　 B．（，+∞）　　　C．（，+∞）　　　 D．[，+∞]

（3）正四棱锥P—ABCD的棱长均为a，点E是分PA为1：2的内分点，F和G分别是分EB和ED的比为2：1的内分点，则异面直线PC和FG所成角是　 （　 ）

A．　　　　　 B．　　　　  C．　　　　　 D．

（4）正方体AC₁中，E，F分别为棱AB，C₁D₁的中点，则A₁B₁与截面A₁ECF所成角的正弦值为　　　　　　　　　 。

（5）在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角为　　　　　 （　 ）

A．　　　　　 B．　　　　  C．　　　　 D．不确定

8．数11¹⁰⁰－1的末尾连续的零的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

　 A．0　　　　　　 B．3　　　　　  C．5　　　　　  D．7

联想：（1）①2³⁰⁰除以9的余数为　　　　　 ，②87⁸⁸＋8被88除所得余数为　　　　　 。

　　 （2）计算某项税率，需用公式y = ( 1－ 5x)ⁿ(nN₊)。现已知y的展开式中各项的二项式系数之和为64，用四舍五入的方法计算x = 时，y的值，若精确到0.001，其千分位上的数字应是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）

　　　A．5　　　　　  B．4　　　　  C．3　　　　  D．2

9．已知某企业的总收入函数为R=26x－2x²－4x³，总成本函数C = 8x＋x²，其中x表示产品的产量，求企业获得最大利润时的产量为　　　　　 ，最大利润为　　　　　  。

联想：用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　 ）

　　　A．6　　　　　  B．8　　　　  C．10　　　　　  D．12

10．设圆x² + y² = 4和直线y = x + a相交于A，B两点，这时·= 　　　　其中O是坐标原点，又当两个向量的夹角为30⁰时，a的值为　　　　　　 。

联想：（1）在原点为O的直角坐标平面上，有以点A（4，－3）为直角顶点的Rt△AOB，已知AB的长为OA长的2倍，且点B的纵坐标为正，则

①向量为　　　　　　　　　　 。

②A点关于直线OB的对称点的坐标为　　　　　　　  。

（2）已知：= (cosα,sinα)， = (cosβ,sinβ)，且与不共线，

 （Ⅰ）与的夹角为　　　　　　　 。

 （Ⅱ）若，且0<α<β<π，k且k ≠0，则β－α的值为　　　　　。

（3）若将向量=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转得到向量，则向量=

　 　　　　　　　　 。

11．已知函数f（x）=x⁴ + (a－2) x² +（5－a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围。

联想：（1）设f ( x) = x²－2ax＋2，当x时，f ( x )≥a恒成立，求实数a的取值范围。

　 （2）设函数与，若恒有f ( x )≤g ( x )成立，试求实数a的取值范围。

　 （3）已知函数，若不等式f ( m · 3^x ) + f ( 3^x－9^x－2 ) < 0，对任意恒成立，求实数m的取值范围。

12．正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为，侧棱长为，E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C。

联想：直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AD=AA₁=a，∠DAB=60⁰，E，F为AA₁，CC₁的中点。

（Ⅰ）证明：面B₁EF⊥平面BDD₁；（Ⅱ）求直四棱

柱被面DEB₁F所截得的下半部分的体积；

（Ⅲ）求面DEB₁F与底面A₁B₁C₁D₁所成的二面角。

13．两个数列｛a_n｝和｛b_n｝满足

  （1）若数列｛b_n｝是等差数列，求证：数列｛a_n｝也是等差数列。

  （2）试问（1）的逆命题是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由。