高考数学复习计数原理变式题（命题人：广州市第三中学 刘窗洲）
审校人 张志红
1．（人教A版选修2-3第22页例4）
用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数 ？
变式1： 由1，4，5，x可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x＝ ．
【解析】：（1+4+5+x）
=288，解得10+x=12．
【答案】：x=2．
变式2：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ ）
（A）56个 （B）57个 （C）58个 （D）60个
【解答】解法一：（直接法）
当首位排2，次位排3时，有A
-1种；次位排4、5时有2 A种，共计17种；
当首位排3，A
种，共计24种；
当首位排4，次位排3时，有A-1种；次位排1、2时有2 A种，共计17种；
以上总计17+24+17=58种。
解法二：（间接法）
不作限定时有
=120种；
当首位排1或5时，各有A种，共计48种不满足要求；
当首位排2，次位排1时，有A种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；
当首位排4，次位排5时，有A种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；
因此共有120-48-7-7=58种排法，即58个数．
变式3：给定数字0、1、2、3、5、9每个数字最多用一次
（1）可能组成多少个四位数？
（2）可能组成多少个四位奇数？
（3）可能组成多少个四位偶数？
（4）可能组成多少个自然数？
【分析】：注意0不能放在首位，还要注意个位数字，方法多种多样，利用特殊优先法，即特殊的元素，特殊的位置优先考虑．
【解答】（1）解法一：从“位置”考虑，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有
种取法，其余3个数位可以从余下的5个数字（包括0）中任取3个排列，所以可以组成
个四位数；
解法二：从“元素”考虑，组成的四位数可以按有无数字0分成两类，有数字0的有
个，无数字0的有
个，所以共组成+=300个四位数；
解法三：“排除法”从6个元素中取4个元素的所有排列中，减去0在首位上的排列数即为所求，所以共有
个四位数；
（2）从“位置”考虑，个位数字必须是奇数有
种排法，由于0不能放在首位，因此首位数字只能有种取法，其余两个数位的排法有
，所以共有
个四位奇数；
（3）解法一：由（1）（2）知共有300-192=108个四位偶数；
解法二：从“位置”考虑，按个位数字是否为0分成两种情况，0在个位时，有
个四位偶数；2在个位时，有
个四位偶数，所以共有+=108个四位偶数；
（4）一位数：有
=6个；
两位数：有
=25个；
三位数：有
=100个；
四位数：有
=300个；
五位数：有
=600个；
六位数：有
=600个；
所以共有6+25+100+300+600+600=1631个自然数．
【点评】解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位．
2．（人教A版选修2-3第29页例4）
在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件。
（1）有多少种不同的抽法 ？
（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ？
（3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ？
变式1：某人手中有５张扑克牌，其中２张为不同花色的２，３张为不同花色的Ａ，有５次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？
【分析】：分类讨论，由于情况太多，要做到不重不漏．
【解答】出牌的方法可分为以下几类：
（1）5张牌全部分开出，有
种方法；
（2）2张2一起出，3张A一起出，有
种方法；
（3）2张2一起出，3张A分开出，有种方法；
（4）2张2一起出，3张A分两次出，有
种方法；
（5）2张2分开出，3张A一起出，有
种方法；
（6）2张2分开出，3张A分两次出，有
种方法；
因此，共有不同的出牌方法
种．
【点评】分类讨论一直是高中的难点，但更是高考的热点内容之一，所以同学们不能回避，应加强训练．
变式2：将7个小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，
（1）若7个小球相同，共有多少种不同的放法？
（2）若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？
【解析】：（1）解法1：∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，
∴分三类，共有分法
解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板，
故共有分法
（2）∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2，
∴共有分法
变式3：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的
取法有多少种？
【解析】：（1）将取出4个球分成三类情况1）取4个红球，没有白球，有
种 2）取3个红球1个白球，有
种；3）取2个红球2个白球，有
3．（人教A版选修2-3第36页例2）
（1）求 
的展开式的第
4 项的系数 ；
（2）求 
的展开式中 
的系数 ？
变式1：在二项式
的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（１）求展开式的第四项；
（２）求展开式的常数项；
（３）求展开式的各项系数的和．
【分析】：本题旨在训练二项式定理通项公式的运用．
【解答】第一项系数的绝对值为
，第二项系数的绝对值为
，第三项系数的绝对值为
，
依题意有+=
，解得n=8，
（１）第四项
；
（２）通项公式为
，展开式的常数项有2r-8=0，即r=4，
常数项为
；
（３）令x=1，得展开式的各项系数的和
．
【点评】本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项为
而不是
，这是同学们最容易出错的地方．
变式2：设
．
（１）求
；
（２）求
；
（３）求
；
（４）求
；
（5）求各项二项式系数的和．
【分析】：本题旨在训练二项展开式各项的系数与二项式系数．
【解答】（１）令x=1得
；
（２）令x=-1得
，
而由（1）知：，
两式相加得
；
（３）将（2）中的两式相减得
；
（４）令x=0得
，得
-
=16-1=15；
（5）各项二项式系数的和为
．
【点评】①要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念；②系数和与二项式系数和不一定相同，本题的（1）与（5）结果相同纯属巧合；③注意求系数和上述是最一般的方法，一定要理解．
变式3：二项展开式
中，有理项的项数是（
）
| (A) 3 | (B) 4 | (C) 5 | (D) 6 |
【解析】：
（r = 0，1，2，…，14 ），
当r = 3，9，15时，为有理项．
【答案】：A
变式4： 若
，
求
的值．
【解析】：令x=1得
，
令x=-1得
=
=
=1
【答案】：1