高考数学复习集合与函数测试题
命题人：广东广雅中学 吴新华 付院花
1．（人教版第14页B组第1题）
已知集合
，集合
满足
，则集合有 个.
变式1：已知集合，集合满足
，集合与集合
之间满足的关系是
解：
变式2：已知集合有
个元素，则集合的子集个数有 个，真子集个数有 个
解：子集个数有
个，真子集个数有
个
变式3：满足条件
的所有集合的个数是 个
解：3必须在集合里面，的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个.
设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系
2．（人教版第14页A组第10题）
已知集合
，
，求
，
，
，
变式1：已知全集
且
则
等于 A.
B
C
D
解：答案为C，集合
，
所以
，集合
，
所以为
变式2：设集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
，
，所以
，故选B。
变式3．已知集合
集合
则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
解：集合
，所以答案为D.
设计意图：结合不等式考察集合的运算
3．（北师大版第21页B组第2题）已知集合
，
，是否存在实数
，使得，若存在，求集合和，若不存在，请说明理由.
变式1：已知集合A＝
－1，3，2
－1
，集合B＝3，
．若，则实数＝ ．
解：由已知
变式2：
，
，且，则的取值范围是______ .
解：
，当
时，
，当
时，
，所以
或
，所以
或
，所以
变式3：设
，
且
，求实数的值.
解：
，因为，所以，所以或
或
或
，当时，
，当或时， 
，符合题意，当时，
所以
或
设计意图：结合参数讨论考察集合运算
4．（北师大版第38页B组第1题）设函数
，
，求函数
的定义域.
变式1： 函数
的定义域是
A.
B. 
C. 
D.
解：由
，故选B.
变式2：设
，则
的定义域为
A. 
B.
C. 
D. 
解：选C.由
得，
的定义域为
。故
，解得
。故的定义域为
设计意图：考察函数的定义域
5．（人教版第84页B组第4题）
已知函数
，
，且
（1） 求函数
定义域
（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.
变式1：已知
是偶函数，定义域为
.则
，
解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.∴
，
变式2：函数
的图象关于
（ ）
A．
轴对称
B．
轴对称 C．原点对称 D．直线
对称
解：函数定义域为
，所以
，所以函数为偶函数，图像关于轴对称.
变式3：若函数
是奇函数，则
解：由于是奇函数，∴
，
即
，
∴
，又
，∴
设计意图：考察定义域与奇偶性
6．（人教版83页B组第2题）
若
，且，求实数的取值范围.
变式1：若
，则的取值范围是 （ ） A．
B．
C．
D．
解：当
时，若，则
，∴
当
时，若，则
，此时无解！
所以选C
变式2：设
，函数
，则使
的的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：要使，且，所以
，又，∴
，故选C.
设计意图:考察对数函数的单调性
7．（人教A版126页B组第1题）
经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？（图略）
变式1：某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段〔0，t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是 （ ）
 |  | ||
|
|
 | |||
 | |||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
答案：A
变式2：为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格
与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 价格（元/担） | 68 | 78 | 67 | 71 | 72 | 70 |
则7月份该产品的市场收购价格应为 （ ）
A．69元 B．70元 C．71元 D．72元
答案：C
设计意图：考察学生读图、读表的能力
8．（人教版43页B组第3题）
已知函数是偶函数，而且在
上是减函数，判断在
上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. 
B.
C. 
D.
解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
变式2：函数
是R上的偶函数，且在
上是增函数，若
,则实数的取值范围是 （ ）
A.
B.
C.
D.
或
解：当时，∵函数是R上的偶函数，且在上是增函数，∴在上是减函数，所以若，则，当
时，函数是R上的偶函数，且在上是增函数，且
，∴，故选D
设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系
9．（人教版第49页B组第4题）
已知函数
，求
，
，
的值
变式1：设
则
__________
解：
.
变式2：已知
是
上的减函数，那么的取值范围是
A.
B.
C.
D.
解：分段函数的单调性需分段处理.答案选C
变式3：设函数f（x）=
则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］
解：当x＜1时，f（x）≥1
（x+1）2≥1x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
当x≥1时，f（x）≥14－
≥1≤31≤x≤10.
综上，知x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
设计意图：考察分段函数的概念和性质
10．（北师大版54页A组第5题）
对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的值
（2）
，
变式1：函数
在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则的值为（ ）
A．
B.2
C.4
D.
解：当或
时，函数都是定义域上的单调函数，
∴
，故选C.
变式2：若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵，∴是定义域上的减函数，所以
，
，∴
，故选A
设计意图：考察函数的最值
11.（人教版65页第8题）
已知下列等式，比较，的大小
（1）
(2)
变式1：设
，那么 （ ）
A.a
＜a
＜b
B.a＜ b＜a
C.a＜a＜b
D.a＜b＜a
解：由
，在A和B中，
在定义域内是单调递减的，∴
，所以结论不成立.在C中，
在内是单调递增的，又
，所以答案为C.
变式2：已知
，则 （ ）
A．
B.
B.
D.
解：由已知
，因为
在定义域内是单调递增的，所以
答案为A.
变式3：已知函数
的图象与函数
（
且
）的图象关于直线
对称，记
．若
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：本题根据反函数的定义求出的解析式，再用换元法判断
的单调性，结合条件在区间上是增函数，求出实数的取值范围是，答案为D
设计意图：考察指、对数函数的单调性
12．（人教版48页A组第8题）
设
，求证：（1）
（2）
变式1：函数
对于任意实数满足条件
，若
则
__________.
解：
，
，又
，∴
，
∴
变式2：若奇函数
满足
，则
解：由已知
，令
，则
，又∵是奇函数，所以
，
∴
，∴
变式3：函数是一个偶函数，是一个奇函数，且
，则等于
A.
B.
C.
D.
解析：由题知
①
以
代，①式得
，即
②
①+②得
答案：A
设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质
13．（人教版第49页B组第5题）
证明：
(1)若
，则
(2)若
，则
变式1：如图所示，
是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的
和
，任意
恒成立”的只有 （ ）
A．和 B． C．和 D．
解：当
时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有和，选择A.
变式2：.设函数=
的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是
A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b
解析：f（0）=
=0，∴b=0.f（1）=1，∴
=1.
∴a=c+1.由图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有
＞0，
∴a＞0.又f（x）= 
，
当x＞0时，要使f（x）在x=1时取最大值1，需x+
≥2
，
当且仅当x==1时.∴c=1，此时应有f（x）=
=1.∴a=2.
答案：B
变式3：如图所示，单位圆中弧AB的长为
表示弧AB与弦AB
所围成的弓形面积的２倍，则函数的图象是
答案：( D )
设计意图：考察图象与式子运算的能力
14：（北师大版136页B组第1题）
判断下列方程在（0，10）内是否存在实数解，并说明理由.
(1)
（2）
变式1：设二次函数
，方程
的两个根
满足
. 当
时，证明
.
分析：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数
的表达式，从而得到函数的表达式.
证明：由题意可知
.
,
∴ 
,
∴
当时，
.
又
,
∴
,
综上可知，所给问题获证.
变式2：已知二次函数
．
（1）若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=－ a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3）若对
，方程
有2个不等实根，
解: （1）
的图象与x轴有两个交点.
（2）
，∴1是
的一个根，由韦达定理知另一根为
，
∴
在（1，+∞）单调递增，
，即存在这样的m使
（3）令
，则是二次函数.
有两个不等实根，且方程
的根必有一个属于
.
设计意图：考察函数的零点
15．（北师大版第66页B组第3题）
求二次函数
在区间【0，1】上的最小值
的表达式.
变式1：设a为实数，记函数
的最大值为g(a).
（Ⅰ）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
（Ⅲ）试求满足
的所有实数a
解：（I）∵
，
∴要使
有意义，必须
且
，即
∵
，且
……① ∴的取值范围是
。
由①得：
，∴
，
。
（II）由题意知即为函数
，的最大值，
∵直线
是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数
，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由
知在上单调递增，故
；
（2）当
时，
，，有=2；
（3）当
时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
即
时，
，
若
即
时，
，
若
即
时，。
综上所述，有=
。
（III）当
时，
；
当
时，
，
，∴
，
，故当
时，
；
当时，
，由
知：
，故
；
当时，
，故
或
，从而有
或
，
要使，必须有
，
，即
，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：或。
设计意图：考察二次函数的最值与分类讨论的思想
16．（人教版84页B组第5题）
试着举几个满足“对定义域内任意实数，
，都有
”的函数例子.
变式1：设函数f（x）的定义域是N*，且
，
，则f（25）= ___________________.
解析：由
∴
同理，f（3）－f（2）=3.
……
f（25）－f（24）=25.
∴f（25）=1+2+3+…+25=325.
答案：325
变式2：设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线
对称，对任意
，都有
（1）设
，求
（2）证明是周期函数.
（1）解：由知
， x∈［0，1］.
因为f（1）=f（
）·f（）=［f（）］2，及f（1）=2，所以f（）=2
.
因为f（）=f（
）·f（）=［f（）］2，及f（）=2，所以f（）=2
.
（2）证明：依题设关于直线x=1对称，故f（x）=f（1+1－x）f（x）=f（2－x），x∈R.
又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R，所以f（－x）=f（2－x），x∈R.将上式中－x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.
这表明是R上的周期函数，且2是它的一个周期.
变式3：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有
且当
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）求证：f（x）在R上递减；
（3）设集合A={（x，y）f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）f（ax－y+2）=1，
a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.
（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，
令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.
∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1.
设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，
∴f（x）=
＞1.
（2）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f（x2－x1）＜1.
令m=x1，m+n=x2，则n=x2－x1，代入条件式，得f（x2）=f（x1）·f（x2－x1），
即0＜
＜1.∴f（x2）＜f（x1）.
∴f（x）在R上单调递减.
（3）
解：由
又由（2）知f（x）为R上的减函数，∴
点集A表示圆的内部.由f（ax－y+2）=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0.
∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆
相离或相切。
于是
设计意图：考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。