平面向量复习应注重的四个强化
平面向量是高中新课程教材中新增的内容，在高考中如何考，在教学中如何把握，特别是该如何进行系统的复习，作为广大数学教师还不是十分清楚。通过对三年来江西与天津地区的数学试卷的分析，特别是2003年高考试题（江苏卷）的研究，笔者认为：在向量这一部分的教学（特别是高考复习教学）中，首先要注重基本概念和基本运算的教学，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握的程度；其次教学中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、解析几何问题、三角问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义，同时也显示出向量的巨大威力。因而平面向量的复习教学应注意以下四个方面的强化工作。
一、强化用平面向量解决平面几何问题的意识
例1．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，
证明：①PA=EF ②PA⊥EF
分析：如果用平面几何的常规证法来处理这两个结论，
由于P点的不确定性，显然对大部分学生来讲很困难，
而如果抓住向量，那么可以把几何关系快速转化为数量
关系，从而通过定量分析得出定性的结果
证明：①以DC所在直线为x轴，以DA所在直线为y轴建
立如图所示的直角坐标系。
设正方形边长为1，
，
则A（0，1），C（1，0），P
，E
，F
∴
∴
∴
∴PA=EF
②∵
∴
∴PA⊥EF
例2．如图，设G是△OAB的重心，过G的直线与OA、OB分别交于P和Q，已知
，△OAB和△OPQ的面积分别为S和T。
求证：（1）
（2）
证明：（1）连结OG并延长交AB于M
则M为AB的中点，设
a，
b
∴
（a+ b）
（a+ b）
又
a ，
b
∴
=kb-h a
（a+ b）―h a=
a+
b
∵P、G、Q三点共线，∴存在实数
使得
即a+b=
b-
a
由平面向量基本定理知：
消去得
（2）∵∠POQ=∠AOB ∴
由（1）知
由于
∴
∴
从而
∴
又∵
∴
综上所述：∴
即
说明：解本题的关键是理解向量的各种运算的定义，并能熟练应用运算法则。利用向量解平面几何问题有时特别方便，但要注意一点，不宜搞得过难过深，因为高考在这方面要求不高，只是在数学竞赛中有较高要求。
二、强化用平面向量解决解析几何问题的意识
在高中数学里，解析几何的运算等问题是比较繁杂的，而有些问题如果应用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。而且向量的坐标是代数与几何联系的纽带，是平面向量的重点内容，它与解析几何联系比较紧密，许多解析几何问题（如长度、角度、点的坐标、轨迹等）都可以用平面向量的知识来解决。
例3． 椭圆
的焦点为
，点P为其上的动点，当
为钝角时，点P横坐标的取值范围是
解：设点
，则
为钝角，则
从而
∴
即
∴
∴点P横坐标的取值范围是
例4．已知椭圆C：
，直线L：
，P是L上的点，射线OP交C于点
R，又点Q在OP上，且满足
，当点P在L上移动时，求点Q的方程。（95年全国高考题）
解：设
则
∵
∴
∴
代入L方程得
同理可得
∴
即点Q的轨迹方程为
说明：用向量作为工具解决解几问题时，解法简洁明快，而且易理解、易操作。
三、强化用平面向量解决三角问题的意识
教材中利用向量推导出了正弦定理、余弦定理，其实用向量推导其它三角公式也很方便，同时说明向量与三角是有密切联系的。
如：
证明：如图：在单位圆上任取两点A、B，设OX为始边，OA、OB为终边的角分别为
∴
∴
又
∴
例5．△ABC中，若
试判断此三角形的形状。
解：设
=b ,
=a ,
=a-b=c
∵a与b的夹角为C，b与c的夹角为
，
a与c的夹角为B
∴
=-
, 
=
, 
=
∴
从而
即
∴=0 ∴
∴△ABC为直角三角形
例6．设
，向量a=
，b=
c=（1,0），若a与c的夹角为
，b与c的夹角为
，且
，
求
的值
解：
∵
∴
又∵
于是
同理可得：
， 因而
由于
，而
于是
因而
∴
∴
∴
四、强化用平面向量解决其他问题的意识
例7．点P在平面上作匀速直线运动，速度是每秒
，当t=0时，P在（—6，—2）处，则t=5时，点P的坐标为________
略解：设所求点P的坐标为（x ,y） 则（x+6 ,y+2）=(10 ,25)
∴x=4 ,y=23 ∴点P的坐标（4 ,23）
例8．已知
，试求
的取值范围。
解：设有向量p=
, q
, p与q的交角为θ
∵p、q都不是零向量（若p=0，则a=b=0,与
矛盾。同理q≠0）
∴p•q=ax―by 又p•q=
cosθ=
=2 cosθ
∴ax―by=2 cosθ ∵-1≤cosθ≤1 ∴-2≤ax―by≤2
高考复习是教师与学生共同创造、共同进步的一个系统工程。随着高考命题的进一步改革，对能力的要求会进一步提高，对教材中新增能力的要求越来越高，在知识交汇点上的命题也不再停留在“戴帽子，穿靴子”的水平上了。因而在复习中应当加强知识点与点之间的渗透与拓宽，构建好知识结构的网络，激活学生的创新思维，增强学生的实践意识与探究能力，真正提高复习的实效，切实提高学生的能力。