圆锥曲线与不等式专题
一、选择、填空题：
1、已知x、y是正变数，a、b是正常数，且
=1，x+y的最小值为__________.
解析：令
=cos2θ，
=sin2θ，则x=asec2θ，y=bcsc2θ，∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ≥a+b+2
.答案：a+b+2
2、设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且a－d＜b－c，则ad与bc的大小关系是__________.
解析：由0≤a－d＜b－c
(a－d)2＜(b－c)2(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc
∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞bc.答案：ad＞bc
3、已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(
，
)，
则f(x)·g(x)＞0的解集是__________.
解析：由已知b＞a2∵f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(x)＜0的解集是(－b，－a2)，g(x)＜0的解集是(－
).由f(x)·g(x)＞0可得：
∴x∈(a2，)∪(－，－a2)答案：(a2，)∪(－，－a2)
4、已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是__________.
原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f(t)=t2－2t－a－1，对称轴t=1，画图象分析可得
解得a∈［－2，2］.答案：［－2，2］
5、已知函数f(x)=
(b＜0）的值域是［1，3］，则b= c= 。
解：设y=
，则(y－2)x2－bx+y－c=0 ①
∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b2－4(y－2)(y－c)≥0，即4y2－4(2+c)y+8c+b2≤0 ②
由条件知，不等式②的解集是［1，3］∴1，3是方程4y2－4(2+c)y+8c+b2=0的两根
∴c=2，b=－2，b=2(舍)
6、直线2x－y－4=0上有一点P，它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差最大，
则P点坐标是_________.
解析：找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交点即为所求的P点.答案：P(5，6)
7、自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与
圆x2+y2－4x－4y+7=0相切，则光线l所在直线方程为_________.
解析：光线l所在的直线与圆x2+y2－4x－4y+7=0关于x轴对称的圆相切.
答案：3x+4y－3=0或4x+3y+3=0
8、函数f(θ)=
的最大值为_________，最小值为_________.
解析：f(θ)=表示两点(cosθ,sinθ)与(2,1)连线的斜率.答案：
0
9、设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足m≤2的值均成立，则x的范围为_________.
原不等式变为(x2－1)m+(1－2x)＜0,构造线段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,
则f(－2)＜0,且f(2)＜0.答案：
10、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ=PF2，那么动点Q的轨迹是 。
解析：∵PF1+PF2=2a,PQ=PF2,∴PF1+PF2=PF1+PQ=2a,
即F1Q=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
11、设A1、A2是椭圆
=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为
。
解析：设交点P(x,y),A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)
∵A1、P1、P共线，∴
∵A2、P2、P共线，∴
解得x0=
12、△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－
,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=
sinA,则动点A的轨迹方程为_________.
解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,
∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为
.
答案：
13、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5
)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )
解析：由题意，可设椭圆方程为：
=1,且a2=50+b2, 即方程为
=1.
将直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程.
由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75.答案：C
14、抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )
A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3 C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0
解析：解方程组
,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=
,x1x2=－
,x3=－
,
代入验证即可.答案：B
15、已知A、B、C三点在曲线y=
上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )
A.3 B.
C.
D.
解析：由题意知A(1，1)，B(m,
),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0,
点B到该直线的距离为d=
.
∵m∈(1,4),∴当
时，S△ABC有最大值，此时m=.答案：B
16、直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.
解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=PF1+PF2.欲使2a最小，只需
在直线l上找一点P.使PF1+PF2最小，利用对称性可解.答案：
=1
17、双曲线
=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，
OP＜5,PF1,F1F2,PF2成等比数列，则b2=_________.
解析：设F1(－c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则PF12+PF22=2(PO2+F1O2)＜2(52+c2),
即PF12+PF22＜50+2c2,又∵PF12+PF22=(PF1－PF2)2+2PF1·PF2,
依双曲线定义，有PF1－PF2=4,依已知条件有PF1·PF2=F1F22=4c2
∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜
,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜
,∴b2=1.答案：1
18、正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，
则正方形ABCD的面积为_________.
解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出CD的长，
利用CD的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，
再代入求出CD的长. 答案：18或50
19、A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使
∠OPA=
,则椭圆离心率的范围是_________.
解析：设椭圆方程为
=1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得
x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,
由韦达定理x2=
－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a
＜e＜1.答案：
＜e＜1
20、已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，
BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.
解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)∵BP⊥PQ,∴
=－1,即t2+(s－1)t－s+1=0∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,解得s≤－3或s≥1.
二、解答题：
21、设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=
，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式：
x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论.
解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x
=－1，由f(x)≤2x2+2x+推得
f(－1)≤.由f(x)≥x2+推得f(－1)≥，∴f(－1)=，∴a－b+c=，
故2(a+c)=5，a+c=且b=1，∴f(x)=ax2+x+(－a).依题意：ax2+x+(－a)≥x2+
对一切x∈R成立，∴a≠1且Δ=1－4(a－1)(2－a)≤0，得(2a－3)2≤0，
∴f(x)=x2+x+1易验证：x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立.
∴存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+≤f(x)≤2x2+2x+对一切x∈R都成立.
22、已知A、B、C是直线l上的三点，且AB=BC=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：BA=BD，PD=PE，CA=CE，故PB+PC=BD+PD+PC=BA+PE+PC=BA+CE=AB+CA=6+12=18＞6=BC，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为
=1(y≠0)
23、已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=
,椭圆C2的方程为
=1(a＞b＞0)，C2的离心率为
，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.
解：由e=,可设椭圆方程为
=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,
又
=1,两式相减，得
=0,
即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化简得
=－1,
故直线AB的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.
有Δ=24b2－72＞0,又AB=
,
得
，解得b2=8.故所求椭圆方程为
=1.
24、已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且AB≤2p. (1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴AB=
≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－
.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x=
=p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2.
25、已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称. (1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.
解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=
=1,解得k=±1.
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).
∴a==b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.
(2)设直线l：y=k(x－)(0＜k＜1
,依题意B点在平行的直线l′上，
且l与l′间的距离为.
设直线l′：y=kx+m,应有
,化简得m2+2km=2. ②
把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,
由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2 ③
②、③两式相减得k=m,代入③得m2=
,解设m=
,k=
,此时x=
,y=
.故B(2,).