高考数学二轮复习函数三要素的综合考查
一.函数三要素(定义域、值域、对应关系)的求法:（学生做题归纳）
二.高考题热身
1.（06湖北卷）设
，则
的定义域为_______________
解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<
<2且－2<
<2解得－4<x<－1或1<x<4故选B
2．（06湖南卷）函数
的定义域是_______ [4, +∞)
3.(07陕西卷)函数f(x)= (x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
4.（06浙江卷）对a,b
R,记max{a,b}=
，函数f（x）＝max{x+1,x-2}(xR)的最小值是____.
解：当x<－1时，x＋1＝－x－1，x－2＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<0.5时，x＋1＝x＋1，x－2＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<0，x＋1<2－x；当0.5£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，x＋1＝x＋1，x－2＝x－2，显然x＋1>x－2；
故
据此求得最小值为
。选C
5.（07安徽卷）函数
对于任意实数
满足条件
，若
则
_______。
解：由
得
，所以
，则
。
6. （07山东卷）设f(x)= 
则不等式f(x)>2的解集为_____（1，2）
（
，+∞）
解：令
>2（x<2），解得1<x<2。令
>2（x³2）解得xÎ（
，+∞）
7. （05江苏卷2）函数
的反函数的解析表达式为_______________.
8.已知f(cosx)=cos5x，则f(sinx)=___________.
9.(06重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是
解析：如图所示，单位圆中
的长为x，
与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数y=f(x)的值增加的越来越慢，所以函数y=f(x)的图像是D.
10. （05浙江理3）设f(x)＝
，则f[f(
)]＝ ________________ 
12. （04年北京文8） 函数
，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定
，
，给出下列四个判断：
①若
，则
②若
，则
③若
，则
④若
，则
其中正确判断有 （ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三.典型例题
例1.（上海春） 设函数
.（1）在区间[-2,6]上画出函数
的图像；
（2）设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明； （3）当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数f(x)图像的上方.
解：（1）(要求列表描点) （2）方程
的解分别是
和
，由于
在
和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和
上单调递增，因此
.
由于
.
（3）[解法一] 当
时，
.
，
. 又
，
① 当
，即
时，取
，
. 
， 则
.
② 当
，即
时，取
， 
＝
.
由 ①、②可知，当
时，
，
.
因此，在区间
上，
的图像位于函数
图像的上方.
[解法二] 当
时，
.由
得
， 令 
，
解得 
或
，
在区间[-1,5]上，当时，
的图像与函数f(x)的图像只交于一点
； 当时，
的图像与函数f(x)的图像没有交点. 如图可知，由于直线
过点
，当时，直线
是由直线
绕点
逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，
的图像位于函数f(x)图像的上方.
例2.（全国卷Ⅱ理17设函数
，求使
的取值范围．
解：由于
是增函数，
等价于
①
⑴当
时，
，∴①式恒成立。
⑵当
时，
，①式化为
，即
。
⑶当
时，
，①式无解。
综上，的取值范围为
例3．已知函数
（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
（1）求函数f(x)的解析式； （2）设k>1，解关于x的不等式；
【正确解答】（1）将
得
（2）不等式即为
即
①当
②当
③
.
例4.（全国II卷）设
，函数
若
的解集为A，
，求实数
的取值范围。
解：由f（x）为二次函数知
，令f（x）＝0解得其两根为
由此可知
（i）当
时，
的充要条件是
，即
解得
（ii）当
时，
的充要条件是
，即
解得
综上，使
成立的a的取值范围为
例5.（上海文22）（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18分）对定义域是
、
的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数
。
（1）若函数
，
，写出函数
的解析式；（2）求问题（1）中函数的值域； （3）若
，其中
是常数，且
，请设计一个定义域为R的函数
，及一个的值，使得
，并予以证明。
解（3）[解法一]令
则
于是
[解法二]令
，
则
于是
例6．设
的值域为[－1，4]，求a、b的值.
例7：已知函数f(x)=
,x∈［1,+∞
，(1)当a=0.5时，求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围
(1)解
当a=
时，f(x)=x+
+2
∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=
(2)解法一 在区间［1，+∞上，f(x)=
>0恒成立
x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞，∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
解法二 f(x)=x+
+2,x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正； 当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
点评 本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 解题的关健是把求a的取值范围的问题转化为函数的最值问题.通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想
四.课后练习
1．已知f(xn)=lgx(n∈N*)，则f(2)=_________________.
2．已知函数f(x)定义域为R+，且满足条件f(x)=f
·lgx+1，f(x)=_______
3．（04年湖北3）已知
的解析式
A．
B．
C．
D．
4．（04年湖北7）函数
上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）
A．0.25 B．0.5 C．2 D．4
5. （04天津12）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为
A. 
B.
C.
D.
|
的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 
8.方程cos2x+sinx=a有实数解，求实数a的取值范围.
9.已知函数f(x)满足f(logax)=
(其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式
解 (1)令t=logax(a>1，t>0；0<a<1，t<0)，则x=at
因此f(t)=
(at－a－t) ∴f(x)=
(ax－a－x)(a>1,x>0;0<a<1,x<0)
10（福建卷理19）已知函数
的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.
解：（1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知
58.(重庆卷) 已知定义域为R的函数f(x)满足
（I）若
，求
;又若
，求
;
（II）设有且仅有一个实数
，使得
，求函数
的解析表达式
55、（天津文15）设
，则函数
的定义域为
。