高考数学二轮复习函数四性的综合考查
一.函数四性(对称性,周期性,奇偶性,单调性)定义及特征:（学生做题归纳）
二.高考题热身
1.（北京卷）已知
是
上的减函数，那么
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
2.（福建卷）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，
设
则
（A）
（B）
（C）
（D）
3．（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.
B. 
C. 
D. 
4．（辽宁卷）设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A) f(x) f(-x)是奇函数 (B) f(x) f(-x)是奇函数
(C) f(x)- f(-x)是偶函数 (D) f(x)+ f(-x)是偶函数
5．（全国II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
6．（全国II）如果函数y=f(x)的图像与函数
的图像关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为
（A）y=2x-3 （B）y=2x+3 （C）y=-2x+3 （D）y=-2x-3
7.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
8．(天津文10) 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）
(A)
； (B)
；
(C)
； (D)
9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当
时，
且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10.直线沿
轴正方向平移
个单位，再沿
轴负方向平移－1个单位得直线
，若直线
与重合，则直线的斜率为（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
11．设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线
对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
0
。
12．(天津文9)若函数
在区间
内恒有
，则
的单调递增区间为
三．典型例题
例1．（05浙江文20）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－x－1；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－
f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。
解：(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y),
则
即
∵点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)－x－1可得2x2-x-1≤0,当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解,
当x<1时,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤
,因此,原不等式的解集为[-1, ]
(Ⅲ)h(x)=-(1+λ)x2+2(1-λ)x+1
① 当λ=-1时,h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数,∴λ=-1
②
当λ≠-1时,对称轴的方程为x=
.
(i)
当λ<-1时, 
≤-1,解得λ<-1.
(ii)
当λ>-1时, 
≥-1,解得-1<λ≤0.
综上,λ≤0
例2.（江苏卷）已知
函数
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
解：（1）当a=2时,
，则方程f(x)=x即为
解方程得：
（2）（I）当a>0时,
，作出其草图见右, 易知f (x)有两个极值点
借助于图像可知,当
时，函数f (x)在区间[1,2]上为增函数，此时
当
时,显然此时函数的最小值为
当
时，
，此时f（x）在区间
为增函数，在区间
上为减函数，
∴
，又可得
∴
则当
时，
，此时
当
时，
，此时
当
时，
,此时f（x）在区间[1,2]为增函数，故
(II)当
时，
，此时f（x）在区间[1,2]也为增函数，故
（III）当
时，其草图见右 显然函数f（x）在区间[1,2]为增函数，故
例3.（湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
解：（I）
，则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以
<0有解.
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.
综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.
（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2.
即
，
则
=
所以
设
则
①
令
则
因为
时，
，所以
在
）上单调递增. 故
则
. 这与①矛盾，假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法二：同证法一得
因为
，所以
令
，得
②
令
因为
，所以时，
故
在[1，+
上单调递增.从而
，即
于是在[1，+上单调递增.
故即
这与②矛盾，假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
例4. 已知函数y＝f (x)是定义在
上的周期函数，周期T=5，函数
是奇函数
又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值
.
①证明：
；②求
的解析式；③求
在[4,9]上的解析式.
解：∵f (x)是以
为周期的周期函数，∴
，
又∵
是奇函数，∴
，∴
②当
时，由题意可设
，
由
得
，∴
，
∴
③∵
是奇函数，∴
，
又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设
，而
，
∴
，∴当
时，f (x)=-3x，
从而当
时，
，故
时，f (x)= -3x，.
∴当
时，有
，∴0.
当
时，
，∴
∴
例5：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(
)=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(
),试证明:
(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减.
……
证明: (1)由f(x)+f(y)=f(
)可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(
)=f(0)=0. ∴f(x)=－f(－x). ∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(
)
∵0<x1<x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴
>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，
即 f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
例6．（湖南卷）设
，点P（t，0）是函数
的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数
在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围.
解：（I）因为函数f (x),g(x)的图象都过点(（t，0），所以
，
即
.因为
所以
. 
又因为f (x),g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以
而
将
代入上式得
因此
故，
，
（II）解法一
.
当
时，函数y= f (x)-g(x)单调递减.
由
，若
；若
由题意，函数y= f (x)-g(x)在（－1，3）上单调递减，
则
所以
又当
时，函数y= f (x)-g(x)在（－1，3）上单调递减.
所以
的取值范围为
解法二：
因为函数y= f (x)-g(x)在（－1，3）上单调递减，且
是（－1，3）上的抛物线，
所以
即
所以的取值范围为
四．课后练习
1.. （北京卷）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意
，
恒成立”的只有
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
>1
<1\ 
<x1－x2故选A
2．（全国卷I）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
A．
B．
C．
D．
解：函数的图象与函数y=f(x)的图象关于直线对称，所以f(x)是的反函数，即
=
，∴ 
，选D.
3.（全国卷I）已知函数
，若
为奇函数，则
________。
解析：函数
若
为奇函数，则
，即
，a=
.
4．（福建卷理12）f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A．2； B．3； C．4； D．5 （ D ）
5．(天津理10)若函数
在区间
内单调递增，则a的取值范围是(A)
(B) 
(C)
(D)
（ B ）
6．（山东卷理4）下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是（ D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第12题]
设函数
为奇函数，
则
（ ）
A．0 B．1 C．
D．5
8．已知f(x)是R上的偶函数，对
都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2005)=( )
A、2005 B、2 C、1 D、0
9．方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点，若函数
有唯一不动点，且
，
，则
。
11．定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；
点拨与提示：根据f(a+b)=f(a)·f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f”得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法.
12.设a为实数，设函数
的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
解：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
（Ⅰ）令
要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴
t≥0
①
t的取值范围是
由①得
∴m(t)=a(
)+t=
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数
的最大值。
注意到直线
是抛物线
的对称轴，分以下几种情况讨论。
（1）当a>0时，函数y=m(t), 
的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
，即
则
若
，即
则
若
，即
则
综上有
