高考数学二轮复习圆锥曲线考点透析

高考数学二轮复习圆锥曲线考点透析

【考点聚焦】

考点1：圆锥曲线的定义与标准方程的求法；

考点2：离心率与准线方程；

【考点小测】

1．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（　　）

A． 　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　D．

解析：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.

2．（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.( 1,2)　　　　  B. (1,2)　　　　　 C.[2,+∞]　　　　　 D.(2,+∞)

解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e²=，∴ e≥2，选C

3．（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于

A.　 B. 　　　 C. 2　　　　 D. 4

解析：依题意可知 ，，故选C.

4．（辽宁卷）曲线与曲线的

(A)焦距相等　　　 (B) 离心率相等　 　　　(C)焦点相同　　　　 (D)准线相同

【解析】由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆，由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故只能选择答案A。

【点评】本题考查了椭圆和双曲线方程及各参数的几何意义，同时着重考查了审题能力即参数范围对该题的影响。

5．（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

A．　　　　　　  B．　　　　　  C．　　　　　 D．

解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.

6．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y²＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是

（A）2　　　　　  （B）6　　　　　 （C）4　　　　 （D）12

解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C

7．（山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

(A)　　　　  (B)　　　　　  (C)　 　　　　　　　　(D)

解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B

8．（四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于

（A） 　　　　　（B）　　 　　　　（C）　　　　　　（D）

解：两定点，如果动点满足，设P点的坐标为(x，y)，

则，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.

9．（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为

（A）48　　　　　  （B）56　　　　　  （C）64　　　　　　 （D）72

解析：直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，联立方程组得，消元得，解得，和，∴ AP=10，BQ=2，PQ=8，梯形的面积为48，选A.

10．(上海卷)若曲线＝＋1与直线＝＋没有公共点，

则、分别应满足的条件是 　　　　　　　　 ．

解：作出函数的图象，

　　　　如右图所示：

　　　　所以，；

【典型考例】

【问题1】求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等

例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，　一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.

解：设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或，离心率；准线方程，两准线的距离为16.

例2．（北京卷）椭圆的两个焦点F₁、F₂，点P在椭圆C上，且P F₁⊥F₁F_2,, P F₁=,_, P F₂=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故椭圆的半焦距c=,

从而b²=a²－c²=4,

　所以椭圆C的方程为＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.　 由圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.　 从而可设直线l的方程为　 y=k(x+2)+1,

　 代入椭圆C的方程得　（4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

　 因为A，B关于点M对称.　 所以　 解得，

所以直线l的方程为　 即8x-9y+25=0.　 (经检验，符合题意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）²+(y－1)²=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

　 设A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由题意x₁x₂且

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①－②得　　　　 　　　　 ③

因为A、B关于点M对称，所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，即直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

【问题2】圆锥曲线的定义的问题

例3．（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则

　　　　  ;

例4．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的点，则PM－PN的最大值为（　 ）

A. 6　　　　　 　 B.7　　　　　　  C.8　　　　　　　  D.9

解：设双曲线的两个焦点分别是F₁（－5，0）与F₂（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝（PF₁－2）－（PF₂－1）＝10－1＝9故选B

【问题3】直线与圆锥曲线位置关系问题

利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.

例5．P₁₀₄例3

例6．（浙江卷），椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT.

本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

解：（I）过点、的直线方程为

因为由题意得　　 有惟一解，

即有惟一解，

所以　 （），

故　

又因为 即　所以 

从而得　故所求的椭圆方程为　　

（II）由（I）得　故从而

　　　 由 　解得所以

因为又得

因此

例7．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段

AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

　　　 解：（I）

　　　 圆过点O、F，

　　　 圆心M在直线上。

　　　 设则圆半径

　　　

　　　 由得　　解得

　　　 所求圆的方程为

　　　 （II）设直线AB的方程为

　　　 代入整理得

　　　 直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

　　　 记中点　　　则

　　　 的垂直平分线NG的方程为　　　 令得

　　　

　　　 点G横坐标的取值范围为

例8．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（Ⅰ）、求椭圆的方程；（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.

故椭圆的方程为 .

（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x₀，y₀）.

∵M点在椭圆上，∴y₀＝（4－x₀²）.　　　　　　　 1

又点M异于顶点A、B，∴－2<x₀<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.

从而＝（x₀－2，y₀），＝（2，）.

∴·＝2x₀－4＋＝（x₀²－4＋3y₀²）.　　　2

将1代入2，化简得·＝（2－x₀）.

∵2－x₀>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

则－2<x₁<2，－2<x₂<2，又MN的中点Q的坐标为（，），

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝(－2）²＋（）²－[(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²]

　　　　　　　　 ＝（x₁－2) (x₂－2)＋y₁y₁　　　　　　　　 　　3

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y₂＝　　　　　　　　　　　 4

又点M在椭圆上，则，即　　　　5

于是将4、5代入3，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

例9．(上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

　　 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀),

由	x=	得	x0=2x－1
	y=		y0=2y－

由,点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S_△ABC=

于是S_△ABC=

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S_△ABC的最大值是.　　

例10．（天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．

（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；

（2）设直线交椭圆于、两点，证明．

本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.

　证明：（Ⅰ）由题设条件知，∽故

　　　　　　　　　　　  ，即

因此，

在，

因此，

在中 ，.

于是，直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.

这时，直线BF与轴的交点为

(Ⅱ)由（Ⅰ），得直线BF得方程为且　　　　②

由已知，设、，则它们的坐标漫步方程组

　　　　　　　　　　　  ③

由方程组③消去，并整理得　　　　

由式①、②和④，　　　

由方程组③消去，并整理得　　　 ⑤

由式②和⑤，　　　

综上，得到

注意到，得

　　　　

课后训练

1．（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　  D．

解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D。

2．（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（　　）

Ａ．Ｂ．Ｃ．　 Ｄ．

解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴  半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.

3. （山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为0.5的点的个数为（ B　 ）

（A）1　　　　　　　　　 （B）2　　　　　  （C）3　　　　（D）4

4. （江苏卷）点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )

　 ( A )　　　　　　　 ( B )　　　　　　( C )　　　　 ( D )

5. (重庆卷)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为。

6．（江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.

　 （Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。

本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。

解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6

∴,b²=a²-c²=9.

所以所求椭圆的标准方程为

（2）点P(5,2)、F₁(-6,0)、F₂(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P^，(2，5)、F₁^，(0，-6)、F₂^，(0，6).

设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c₁=6

,b₁²=c₁²-a₁²=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

7．（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；　　（Ⅱ）的最小值。

.解: 椭圆方程可写为: + =1　 式中a>b>0 , 且　 得a²=4,b²=1,所以曲线C的方程为:　x²+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '=－

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2, y '_x=x0= － ,得切线AB的方程为:

y=－ (x－x₀)+y₀ . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .

由= +得M的坐标为(x,y), 由x₀,y₀满足C的方程,得点M的轨迹方程为:

+ =1 (x>1,y>2)　

(Ⅱ) ²= x²+y²,　y²= =4+ ,

∴²= x²－1++5≥4+5=9.且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号.

故的最小值为3.

8．(上海卷)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．（15班）

[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).　　 ∴=3；

　　 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

　　　　 由得

　　　　 又 ∵ ，

　　∴，

　　综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；

(2)逆命题是：设直线交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

　 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；

说明：由抛物线y²=2x上的点A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂) 满足=3，可得y₁y₂=－6，

或y₁y₂=2，如果y₁y₂=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

9．（全国II）已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明·为定值；

（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．（15班）

解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，

即得　　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

将①式两边平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得　　y₁＝λ²y₂　 ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝x₁(x－x₁)＋y₁，y＝x₂(x－x₂)＋y₂，即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．　 ……4分

所以·＝(，－2)·(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以·为定值，其值为0．　　　……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝ABFM．

FM＝＝＝

＝＝＋．

因为AF、BF分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

AB＝AF＋BF＝y₁＋y₂＋2＝λ＋＋2＝(＋)²．

于是　　S＝ABFM＝(＋)³，

由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

10．（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.。(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.（15班）

解：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得∴所求椭圆方程为 .

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，解得

又由韦达定理得

原点到直线的距离

.

解法1：对两边平方整理得：（*）

　　　 　　∵，

　　　　　　　　　　　　　　整理得：

　　　　　　　又，　　　　　　 从而的最大值为，

此时代入方程（*）得　

所以，所求直线方程为：.

解法2：令，　　　　 则

　　　　　　　　　　 当且仅当即时，　 　　　此时.　　　　　

　　 所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，

　　　　　　　由解法一知且，

　　　　　　　解法1：　 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

　　　　　　　　　　 下同解法一.

　　　　　　　解法2：=

　　　　　　　下同解法一.