高考数学二轮复习数列的综合考查

高考数学二轮复习数列的综合考查

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）

一、知识整合

1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；

2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，

进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．

3．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．

二、方法技巧

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

(2)通项公式法：

①若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，则为等差数列；

②若  ，则为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2. 在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：　

(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值.

(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、注意事项

1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意与之间关系的转化。如：=　，　=．

4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

四．典型考例

【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P₄₉　例1　 3。P₅₀　例2　 P₅₆　例1　 P₅₉　T₆．

【注1】文中所列例题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题

例（四川卷）数列的前项和记为（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满分12分。

解：（Ⅰ）由可得，两式相减得

又 ∴　 故是首项为，公比为得等比数列　 ∴

（Ⅱ）设的公比为　由得，可得，可得

故可设　　 又

由题意可得　　　　 解得

∵等差数列的各项为正，∴　∴　 ∴

1.设等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都为整数，前n项和为S_n.

(Ⅰ)若a₁₁=0,S₁₄=98,求数列｛a_n｝的通项公式；

(Ⅱ)若a₁≥6，a₁₁＞0，S₁₄≤77，求所有可能的数列｛a_n｝的通项公式

2．(上海卷)设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？

.解(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

　　 当n≥2时, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n ∴=　a_n=2048()^n－1.

　　 (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,　　 ∴T_n=(－n²+23n).

　　 由T_n<－509,解得n>,而n是正整数,于是,n≥46.　　 ∴从第46项起T_n<－509.

3. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。

解：（Ⅰ）由  得

即

可得

因为，所以 　解得，因而

 （Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故

则数列的前n项和

前两式相减，得　

　 即 

【问题2】等差、等比数列的判定问题．P₅₃　T₇例P₅₄　T₉

[例]P₅₄　T₉(上海卷)已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．

（1）求证：数列是等比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；

（3）若（2）中的数列满足不等式－＋－＋┅＋－＋－≤4，求的值．

(1)　[证明]　 当n=1时,a₂=2a,则=a；

　　　　　　　　　2≤n≤2k－1时, a_n+1=(a－1) S_n+2, a_n=(a－1) S_n－1+2,

　　 　　　　　　a_n+1－a_n=(a－1) a_n,  ∴=a, ∴数列{a_n}是等比数列.

 (2) 解：由(1) 得a_n=2a, ∴a₁a₂…a_n=2a=2a=2,

　　　　　　 b_n=(n=1,2,…,2k).

（3）设b_n≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, b_n<；

　　　当n≥k+1时, b_n>.

　　　原式=(－b₁)+(－b₂)+…+(－b_k)+(b_k+1－)+…+(b_2k－)

　　　　  =(b_k+1+…+b_2k)－(b₁+…+b_k)

　　　　  ==.

　　　　 当≤4,得k²－8k+4≤0,　　4－2≤k≤4+2,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

4．[例]，已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。

分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径．

【注2】本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.

解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2．

当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式．

综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2．

说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。

2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

【问题3】函数与数列的综合题  P₅₁　例3

数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.

P₅₁　例3已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以　f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

5．设，定义，其中n∈N*.

（1）求数列｛a_n｝的通项公式；（2）若，

解：（1）＝2，，，

∴

∴，∴数列｛a_n｝上首项为，公比为的等比数列，

（2）

两式相减得：

6．（湖北卷）设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。

解：（I）依题意得，即。

当n≥2时，a;

当n=1时，×-2×1-1-6×1-5

所以。

（II）由（I）得，

故=。

因此，使得﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要求的最小整数m为10。

【问题4】数列与解析几何

数列与解析几何综合题，是今后高考命题的重点内容之一，求解时要充分利用数列、解析几何的概念、性质，并结合图形求解.

例3．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，­为公差的等差数列.

⑴求点的坐标；子⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：.

解：（1）

（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：

把代入上式，得，的方程为：。

，

=

点评：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大。（1）、（2）两问运用几何知识算出.

7．已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．

（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为

解：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得，　故是以

为公比的等比数列；，

【问题5】数列与算法

8. 数列的前项和为=n²+2n-1,试用程序框图

表示数列通项的过程,并写出数列的前5项和通项公式.

9.根据流程图,(1)求;(2)若,求n.

【问题6】数列创新题

10.（安徽卷）数列的前项和为，已知

（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和。

解：由得：，即，所以，对成立。

由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，

11.（福建卷）已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；（Ⅱ）设数列{b_n­}满足b₁=－1, b_n+1=，求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

　（I）解法一：

　　　　

故a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}

12. (全国卷III) 在等差数列中，公差的等比中项.

已知数列成等比数列，求数列的通项

解：由题意得：……………1分

　　　 即…………3分

又…………4分

又成等比数列,

∴该数列的公比为，………6分

所以………8分

又……………………………………10分

所以数列的通项为……………………………12分

课后训练:

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．如果-1，a, b,c,-9成等比数列，那么

A．b=3,ac=9　　 B.b=-3,ac=9　　　 C.b=3,ac=-9　 　 D.b=-3,ac=-9

2．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于

A.40　　　　　　　 B.42　　　　　　　 C.43　　　　　　 D.45

3．（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为

A.5　　　　  B.4　　　　　 C. 3　　　　　　　 D. 2

4．若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则

A．4　　　　 B．2　　　　 C．－2　　　　D．－4

5．（06江西卷）已知等差数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S₂₀₀＝（　 ）

A．100　　　　　  B. 101　　　　　 C.200　　　　　　 D.201

6．(文科做)在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于

A.　 　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.

7．已知数列满足，则=　　　　　　　　　　　 （　　 ）

　　　 A．0　　　B．　　　C．　　　D．

8．设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则＝

A.　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　 D.

9．已知等差数列{a_n}中,a₂+a₈=8,则该数列前9项和S₉等于(　　)

A.18　　 　　　　　B.27　　　　　　　 C.36　 　　　　　　 D.45

10．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）

A．55　　　　　B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）

11．设为等差数列的前n项和，＝14，S₁₀－＝30，则S₉＝　　　.

12．在数列｛a_n｝中，若a₁=1,a_n+1=2a_n+3 (n≥1),则该数列的通项a_n=_________.

13.  已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<log_m(ab)<1,则m的取值范围是________　 _

14. 等差数列{a_n}共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________

15．设等比数列的公比为q，前n项和为S_n，若S_n+1,S_n，S_n+2成等差数列，则q的值为　　　　.

三、解答题（共4小题，每小题4分，共24分）

16　已知正项数列，其前项和满足且成等比数列，求数列的通项

17.（文科做）（06福建）已知数列满足

（I）证明：数列是等比数列；　　　（II）求数列的通项公式；

（II）若数列满足证明是等差数

18．（山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令　(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

答案与点拨：

1 B 解：由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3，选B

2 B解：在等差数列中，已知∴ d=3，a₅=14，=3a₅=42，选B.

3 D解：，故选C.

4　D解：由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D

5  A解：依题意，a₁＋a₂₀₀＝1，故选A

6 （文）C  解：因数列为等比，则，因数列也是等比数列，

则

即，所以，故选择答案C。

7 .A　提示：由a₁=0,得a₂=-

 由此可知：数列{a_n}是周期变化的,且三个一循环，所以可得:a₂₀=a₂=－故选A

8　A　解:由等差数列的求和公式可得且

所以,故选A

点评：本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般

9 C 解：在等差数列{a_n}中，a₂+a₈=8，∴ ，则该数列前9项和S₉==36，选C

10　C 解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴

=，选C.

11.（文）解：设等差数列的首项为a₁，公差为d，由题意得

，联立解得a₁=2,d=1，所以S₉＝

12.  解：在数列中，若，∴ ，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项.

13　(－∞,8)　　提示　解出a、b,解对数不等式即可　答案　(－∞,8)

14　a₁₁=29　　提示　利用S_奇/S_偶=得解　答案　第11项a₁₁=29

15．－2　　提示：由题意可知q≠1,∴可得2(1-qⁿ)=(1-qⁿ⁺¹)+(1-qⁿ⁺²),即q²+q-2=0,解得q=-2或q=1(不合题意,舍去),∴q=－2.

16 解：13　解　∵10S_n=a_n²+5a_n+6, ①　 ∴10a₁=a₁²+5a₁+6,解之得a₁=2或a₁=3.

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2),②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1),即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0　

∵a_n+a_n－1>0　, ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2).

当a₁=3时,a₃=13,a₁₅=73. a₁, a₃,a₁₅不成等比数列∴a₁≠3;

当a₁=2时, a₃=12, a₁₅=72, 有 a₃²=a₁a₁₅ , ∴a₁=2, ∴a_n=5n－3.

17.（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。

（II）解：由（I）得

（III）证明：

　　　　　　　　①

　　②

②－①，得　 即　　　　　③

　　　　　④

④－③，得　 即

　 是等差数列。

18．（山东卷）已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

解：（I）由已知得　

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

　　　　　　　 

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.