三角函数总结及统练
一. 教学内容：
三角函数总结及统练
（一）基础知识
1. 与角
终边相同的角的集合
2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是
、
、
三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=
5. 同角三角函数的关系
平方关系：
商数关系：
倒数关系：
口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 正弦 |
|
|
|
|
|
|
|
| 余弦 |
|
|
|
|
|
|
|
| 正切 |
|
|
|
|
|
|
|
| 余切 |
|
|
|
|
|
|
|
7. 两角和与差的三角函数
8. 二倍角公式——代换：令
降幂公式
半角公式：
；
；
9. 三角函数的图象和性质
| 函数 |
|
|
|
| 图象 |
|
|
|
| 定义域 | R | R |
|
| 值域 最值 |
|
| R 无最大值 无最小值 |
时
时
时
时| 周期性 | 周期为 | 周期为 | 周期为 |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 单调性 | 在 上都是增函数；在 上都是减函数（ | 在 | 在 |
上都是增函数，在
上都是减函数（
内都是增函数（ 10. 函数
的图象变换 
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）
（2）
（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：
－
角的倍角与半角的相对性
如：
5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如：
（化成一个角的一个三角函数）
[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
（2）
解：
（1）
，
，
（2）
，
，
，
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简
；
[例2] 化简
。
答案：
3. 化异为同
[例3] 已知
，求：
（1）
（2）
答案：（1）3；（2）
[例4] 已知
，求：
答案：
4. 
与
间的相互转化
（1）若
，则
；
；
=
（2）若
，则
；
（3）
[例5] 化简：
。
答案：
[例6] 若在第二象限，
，求
。
答案：
5. 互为余角的三角函数相互转化
若
，则
；
[例7] 已知
，则
。
答案：
[例8] 求值：
。
答案：
[例9] 求值：
。
答案：
6. 公式的变形及活用
（1）
（2）若
[例10] 计算
。
答案：
[例11] 
。
答案：
7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例12] 若
，则
。
答案：7
[例13] 若
，则
。
答案：
[例14] 在
中，A为最小角，C为最大角，且
，
，求
的值。
答案：
8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例15] 已知
，求
。
答案：
[例16] 若是第二象限角且，求的值。
解法一：利用公式
然后限定角的范围。
解法二：设
利用平方和求
的值，然后限定角的范围。
解法三：利用
，可回避限定角的范围。
答案：
9. 在三角形中的有关问题
；
；
结论：
；
；
[例17] 已知A、B、C是的内角且
，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例18] 在锐角三角形ABC中，求证：
证明：由
则
故
同理
三式相加，得证。
10. 形如
的化简
[例19] 求值：（1）
（2）
答案：（1）（2）
11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例20] 求下列函数的定义域。
（1）
（2）
答案：
（1）
（2）
[例21] 求下列函数的值域。
（1）
（2）若是锐角，则
的值域。
答案：（1）
（2）
12. 可化为形如：
的形式（一个角的一个三角函数）
[例22] 已知函数
，求“一套”。
答案：
，定义域：R；值域：
，
，
；
对称轴
增区间：
减区间：
13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与
的关系
题型二：由函数图像求其解析式
[例23] 已知函数，（，
）在一个周期内，当
时，有最大值为2，当
时，有最小值为
，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：
14. 可化为形如：
，
（定义域有限制的一元二次函数）
[例24] 求函数
的值域
解：
[例25] 已知
，若记其最大值为
，求的解析式。
解：
，当
时，
当
时，
当
时，
15. 周期函数与周期
[例26] 已知函数
对定义域中每一个都有
，其中
，则
的周期
。
解：T
[例27] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立，求其周期。
解：4
[例28] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立，求其周期。
解：8
[例29] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立，求其周期。
解：6
[例30] 已知奇函数对定义域中每一个都有
成立 ，求其周期。
解：6
16. 函数与方程的思想
[例31] 方程
的解的个数 。
解：63
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
2. 已知，求：
3. 设
，则
。
4. 求
的最大值和最小值。
5. 求值：
。
6. 若
；
，求
7. 已知、
且
，
，求
的值。
8. 为何值时方程
有解？
9. 方程
，
有两解时求的值。
10. 求值：
（1）
（2）
11. 求下列函数的定义域。
12. 已知函数，当
时，求函数的最大值和最小值及何时取到？
【试题答案】
1.
，
，
，
2.
3. 
4. 令
，
，
，
，
5. 
6. 
7.
提示：关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
解：
又由
得
，
得
则
故
8. 
9. 
10.（1）
（2）
11.
（
）
12.
当
时，
；时，