高考数学平面向量及其运用

高考数学二轮复习平面向量及其运用考点透析

【考点聚焦】

考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.

考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.　　

考点3：向量的模与角的计算。.

【考点小测】

1．（浙江卷）设向量满足,,则

(A)1　　　　  (B)2　　　　　  (C)4　　　　　 (D)5

2．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（　）

（A）外心　　　（B）内心　　 （C）重心　　 （D）垂心

3．（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量

A.　 B. 　C. 　D.

4．（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是　 (　　　)A.[0,]　　 B.　　 C.　　D.

5．（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为

A．　　　　　　  B．　　　　  C．　　　　　 D．

6．（山东卷）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

(A)(2,6)　　　　 (B)(－2,6)　　　　 (C)(2,－6)　　　　　　  (D)(－2,－6)

7． (上海卷)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是　　　　（　　　）

（A）＝；　　　　　  （B）＋＝；

（C）－＝；　　　（D）＋＝．

8．（北京卷）若三点共线，则的值等于_________.

9．（2005年全国卷Ⅱ）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为v个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为 　　　　　　　　（10，－5）

10．（湖南卷）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x²＋y²＝1相交于A、B两点，且AB＝，则　＝　　　　 .

【典型考例】

【考型1】向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.

例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　.

思路分析：与a平行的单位向量e=±

方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知

，故填 (,-)或(,-)

方法二　与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.

点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.

例2：已知 a =1, b =1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？

思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出x,y,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.

解：由已知a=b=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=abcosα=.

要计算x与y的夹角θ，需求出x，y，x·y的值.

∵x²=x²=(2a－b)²=4a²－4a·b+b²=4－4×+1=3，

y²=y²=(3b－a)²=9b²－6b·a+a²=9－6×+1=7.

x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a²－3b²+a·b

　　=7a·b－2a²－3b² =7×－2－3=－，

又∵x·y=xycosθ，即－=×cosθ， ∴cosθ=－

点评：①本题利用模的性质a²=a²，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得=，即x=，同理可得y=.

【考型2】向量共线与垂直条件的考查

例3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足，其中，∈R且+=1，求点C的轨迹方程。.

解：（法一）设C(x,y)，则=(x,y)，由=(x,y)= α(3,1)+ β(-1,3)=(3α-β, α+3β)

∴,　（可从中解出α、β）又∵α+β＝1　消去α、β得x+2y-5=0

（法二） 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，

例4．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t²－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.

思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？

解：（1）法一：由题意知x＝(,),

y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y

故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.

整理得：t³－3t－4k＝0，即k＝t³－t.

法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ),  ∴. ＝2，＝1且a⊥b

∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k²＋t(t²－3)²＝0，∴t³－3t－4k＝0,即k＝t³－t

(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t³－t　∴kˊ＝fˊ(t) ＝t³－,

令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.

点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.

例5： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围.

解：由条件可得：k＝( sinα－)²－,而－1≤sinα≤1,

∴当sinα＝－1时，k取最大值1；　sinα＝1时，k取最小值－.

　 又∵k≠0　∴k的取值范围为 .

点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.

例6：已知向量，若正数k和t使得向量

垂直，求k的最小值.

解：

　　

　　∵，∴=，=

　　　＝－＋ ， 代入上式　 －3k＋3

　　　当且仅当t=，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2.

【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查

向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.

例7．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.

思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，

解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)＝2cos²x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)

由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.

∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,　 ∴2x＋=－, 即x＝－.

（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.

由(1)得f (x)＝　∵＜，　 ∴m＝－，n＝1.

 点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）

例8：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α

解：（1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）

∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）,　 a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ）

∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）

=cos²α-cos²β+sin²α- sin²β=0

∴(a+b)⊥(a-b)

证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）　　　∴a＝1，b＝1

∴(a+b)·(a-b)= a²-b²=a²-b²=0　　　　　　　　　　∴(a+b)⊥(a-b)

证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴a＝1，b＝1,

记＝a，＝b，则＝=1,

又α≠β，∴O、A、B三点不共线.

由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b)

（2）解：由已知得ka+b与a-kb,

又∵ka+b²＝(kcosα+cosβ)²+(ksinα+sinβ)²=k²+1+2kcos(β－α),

ka+b²＝(cosα-kcosβ)²+(sinα-ksinβ)²=k²+1-2kcos(β－α),

∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α)

又∵k≠0　　　∴cos(β－α)＝0

∵0<α<β<π　　∴0<β－α<π,　　　 ∴β－α=

注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.

【考型4】向量运算的几何意义与解析几何

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。

例9：设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A(0，2)，B（0，－2）且(λ∈R).（Ⅰ）求点C(x，y)的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点(2，0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

思路分析：（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.（2）根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直关系，结合韦达定理，求得k的值.

解：（１）由已知得 , 又，∴

∵CH=HA　 ∴即

（2）设l方程为y=k(x-2)，代入曲线E得（3k²+1）x²-12k²x+12(k²-1)=0

设N (x₁，y₁)，M (x₂，y₂)，则x₁ +x₂=，x₁ x₂=

∵ ，∴　四边形OMPN是平行四边形.

若四边形OMPN是矩形，则

∴x₁ x₂+y₁ y₂=0　∴得

∴　直线l为：y=  

点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题.

例10：已知椭圆方程，过B（－1，0）的直线l交随圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，B、E分的比分λ₁、λ₂．求证：λ₁＋λ₂＝0

解：设l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程整理得

（4k²＋1）x²＋8k²x＋4(k²－1)＝0.

设C（x₁,y₂）,D(x₂,y₂)，则x₁＋x₂＝－.

由得　

所以.同理，记E

得

其中 

.

例11：给定抛物线C:y²＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.设l的斜率为1，求与夹角的余弦。

解：C的焦点为F（1，0）,直线l的斜率为1，所以l的方程为y＝x－1,

将y＝x－1代入方程y²=4x，并整理得x²－6x＋1＝0

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则有x₁＋x₂＝6, x₁x₂＝1，

从而·＝x₁x₂＋y₁y₂＝2x₁x₂－(x₁+x₂)+1＝－3

︱︱·︱︱＝·＝,

cos＝＝

例12．已知点G是△ABC的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x轴上有一点M，满足=， (∈R)．⑴求点C的轨迹方程；

⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足=，试求k的取值范围．

[分析] 本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.

解： ⑴设C(x, y)，则G(,)．∵(∈R)，∴GM//AB,

又M是x轴上一点，则M(, 0)．又=，

∴，整理得，即为曲线C的方程．

⑵①当k=0时，l和椭圆C有不同两交点P，Q，根据椭圆对称性有=．

②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，

联立方程组 　消去y，整理行(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)=0（*）

∵直线l和椭圆C交于不同两点，

∴△=(6km)²－4(1＋3k²)×( m²－1)＞0，即1＋3k²－m²＞0．　　　　 (1)　　

设P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，则x₁, x₂是方程（*）的两相异实根，∴x₁＋x₂=－

则PQ的中点N(x₀, y₀)的坐标是x₀==－，y₀= k x₀＋m=，

即N(－, )，

又=，∴⊥，∴k·k_AN=k·=－1，∴m=.

将m=代入(1)式,得 1＋3k²－()²＞0（k≠0），

即k²＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．

综合①②得，k的取值范围是(－1, 1)．

对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.

【课后训练】

1．已知向量（　　）

A　30°　　 B　60°　　　C　120°　　　　　 D　150°

2．已知点M₁（6，2）和M₂（1，7），直线y=mx－7与线段M₁M₂的交点分有向线段M₁M₂的比为3：2，则的值为　　　　　　　　　　　  （　 ）

A　　　　　 B　　　　　 C　　　　　  D　4

3．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（　 ）

A　　　　　　B　　　　　　 C　 　　　　D　

4．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　 ）

A　［0，］　 B　［，］　　C　［，］　 D　［，］

5．设坐标原点为O，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·=（　 ）

A　 　　　　B　　 　　　　 C　3　　　　　 D　－3

6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的（　 ）

A　外心　 　　 B　内心　 　　　　C　重心　 　　 D　垂心

7．点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（　　）

A　（-2，4）　B　（-30，25）　C　（10，-5）　D　（5，-10）

8．已知向量≠，＝1，对任意t∈R，恒有－t≥－，则（　　）

A　 ⊥　　 B　 ⊥(－) 　　C ⊥(－)　　 D (＋)⊥(－)

9．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D　）

A　外心　　 B　内心　　　C　重心　　 D　垂心

10．△ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²(a²+b²)，则∠C度数是：

A　60⁰　　　　　 B　45⁰或135⁰　　　　 C　120⁰　　　　　  D　30⁰

11．已知向量a=()，向量b=()，则2a－b的最大值是　　　　 

12．把函数y=2x²－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x²的图像，且a⊥b，c=(1,－1)，b·c=4，则b=　　　　　　

13．已知平面上三点A、B、C满足=3,=4，=5,则的值等于　　　　.

14．在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_____.

15．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．

16．06年江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设ÐMGA＝a（）

（1）　　　 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）

表示为a的函数

（2）　　　 求y＝的最大值与最小值

17.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且.（1）求动点N的轨迹方程；

（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围.

18．已知两点M(－1，0)， N(1 , 0)，且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为（x₀、y₀），记θ为与的夹角，求tanθ.

答案与提示：

1．C　提示：设，则，又

，所以，得，，

2. D　提示：设交点M（x,y），，代入直线方程可得.

3. B　提示：a²－2b•a＝0且b²－2a•b＝0，相减得｜a｜＝｜b｜，代入其中一式即可.

4. D　提示：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，为半径的圆.

5. B　提示：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），·＝x₁x₂+y₁y₂＝，将直线方程y=k(x－0.5)代入抛物线方程消去x可得y₁y₂.

6. B　提示：表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，在∠BAC的平分线上，故P点的轨迹过三角形的内心.

7．C　提示：设5秒后点P运动到点A,则,

∴=(10,-5).

8．C　提示：由－t≥－得－t²≥－²，展开并整理得,得,即.

9．D　提示：由.

　　即， 则

所以P为的垂心.

10．B　提示：由a⁴+b⁴+c⁴=2c²(a²+b²)得：a⁴+b⁴+c⁴－2a²c²-2b²c²+2a²b²=2a²b²,即(a²+b²-c²)²=2a²b²

a²+b²-c²=ab，

11． 4　

12． (3, －1)　

13．－25　提示：因AB⊥BC，，，，所以原式＝0－9－16＝－25

14．－2　提示：如图,

，当取等号.

 即的最小值为:-2.

 15. 解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，由此得　 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以　θ＝－；

（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得｜a＋b｜＝

＝＝，

当sin(θ＋)＝1时，a＋b取得最大值，即当θ＝时，a＋b最大值为＋1．

16. 解：因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以　 AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理，得

则S₁＝GM·GA·sina＝　　同理可求得S₂＝

（1）　　　 y＝＝

＝72（3＋cot²a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y_max＝240

当a＝时，y取得最小值y_min＝216

17. 略解 （1）y²＝4x　 (x＞0)　　 （2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为

y＝kx＋b(k≠0),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).联立直线与抛物线方程，得

ky²－ 4y＋4b＝0,由，得.

又　故　 而　

　 

解得直线l的斜率的取值范围是

18．略解（Ⅰ）设点P（x , y），分别计算出·，·，·，

由题意，可得点P的轨迹方程是　　　　　  　　　　

故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆.　　　　　　 

　　　 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知，，可得cosθ＝，

又x₀,∴即,

于是sinθ＝＝＝＝，