不等式（文科）高考备考建议
东莞市实验中学 黄宁
一、考纲要求：
1.不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2.一元二次不等式
（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型。
（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
3.二元一次不等式组与简单线性规划问题
（1）会从实际情景中抽象出二元一次不等式组。
（2）了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
（3）会从实际情景中抽象出一些简单的二次线性规划问题，并能加以解决。
4.基本不等式：
（1）了解基本不等式的证明过程。
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、内容与要求的变化：
强调对实际问题的抽象，特别强调一元二次不等式的有关问题，新增了“设计求解的程序框图”；去掉了“含绝对值的不等式.”及“三角不等式 a-b≤a+b≤a+b”。
三、备考重点及难点：
不等式重点考查的有四种题型：解不等式，证明不等式，不等式的应用，不等式的综合性问题。突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识是考试重点。不等式的证明是考试难点。
四、典型例题：
例1（1）已知c<b<a,且ac<0,那么下列选项中一定成立的是
(A)ab>ac (B)c(b-a)<0 (C)cb2<ab2 (D)ac(a-c)>0
（2）若
。则下列不等式(1)a+b<ab (2)
(3)a<b (4)
中，正确的有____个
本题是运用不等式性质求解的基础题，（1）题选A (2)题填2。
例2不等式3x2-log
ax<0在区间(0,
)内恒成立，求a的取值范围。
本题数形结合，借助两个函数图象比较两函数值的大小，答案：
例3已知f(x)=x2-2ax+2,当
恒成立,求a的取值范围。
分析：f(x)
恒成立等价于f(x)min,问题化归为求f(x)在
上的最小值g(a)，再解不等式g(a) ，可求a的取值范围。
例4．在约束条件
的取值范围是
.
分析：画出约束条件所表示的可行域，目标函数
和可行域内点的距离的平方，最小值为点A到直线
的距离的平方，最大值在点（2，0）处取得。答案为
。
例5．已知二次函数
的解集为（1，2）
（1）若方程
有两个相等的实根，求
的解析式；
（2）若的最大值大于1，求a的取值范围.
解：（1）不等式
的解集为（1，2）
（2）
本题涉及“三个二次”，要引起足够重视。
例6．已知函数f（x）=
－
x2＋bx＋c．（1）若f （x）有极值，求b的取值范围；
（2）当f （x）在x=1处取得极值时，
①若当x∈［－1,2］时，f （x）<c2恒成立，求c的取值范围；
②证明：对［－1,2］内的任意两个值x1，x2，都有｜f （x1）－f （x2）｜<
．
解：（1）∵f（x）=x3－x2＋bx＋c， ∴f `（x）=3x2－x＋b
要使f（x）有极值，则f `（x）=3x2－x＋b=0有实数解
从而△＝1－12b≥0,∴b≤
而当b=时，函数在R上严格递增，∴b<
（2）∵f（x）在x=1处取得极值 ∴f `（1）=3－1＋b=2＋b=0 ∴b＝－2
①∴f（x）=－x2－2x＋c
∵f `（x）=3x2－x－2=（3x＋2）（x－1）
∴当x∈
时，f `（x）>0，函数单调递增
当x∈（－
，1）时，f `（x）<0，函数单调递减
∴当x=－时，f （x）有极大值
＋c
又f （2）=2＋c >＋c, f （－1）=＋c<＋c
∴x∈［－1,2］时，f （x）最大值为f （2）=2＋c
∴c2>2＋c ∴c<－1或c>2
②由上可知，当x=1时，f（x）有极小值－
＋c
又f （2）=2＋c>－＋c, f （－1）=＋c>－＋c
∴x∈［－1,2］时，f （x）的最小值为－＋c
∴｜f
（x1）－f （x2）｜<｜fmax（x）－fmax（x）｜=，故结论成立．
涉及函数的增减区间，最大值与最小值与不等式也紧密相关。
五、专题练习
1．已知集合
A．{
}
B．{
} C．{
} D． {
}
2.下列各式中，对任何实数
都成立的一个是
（A） 
（B） 
（C） 
（D） 
3．不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
4．设
、
，且
，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
5. 设
则以下不等式中不恒成立的是
A．
B．
C．
D．
6.命题p：若a、b∈R，则a+b>1是a+b>1的充分而不必要条件；
命题q：函数y=
的定义域是（－∞，－1
∪[3，+∞
.则
A．“p或q”为假 B．“p且q”为真
C．p真q假 D．p假q真
7. 一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：
A．
B．
C．
D．
8．设定义域为D的函数
满足以下条件：① 对任意
；② 对任意
,当
时,有
.则以下不等式不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
9．已知
,则
的最小值是____________
10.在约束条件
下，目标函数
的最大值为_____________.
11. 设函数
则实数a的取值范围是
.
12. 二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 6 | 0 | -4 | -6 | -6 | -4 | 0 | 6 |
则不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________________.
13．设
，函数
，则使
取值范围是____________
14.若不等式
对于区间
内的任意x都成立，则实数a的取值范围是____________
15. 已知不等式
的解集是
，求不等式
的解集.
16. 设 f (x) = x-a-ax，其中0<a<1为常数，
（1）解不等式 f (x)<0；
（2）试推断函数f (x)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。
17．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）> -2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.
18.已知
，
．
（Ⅰ）当
时，求证：在
上是减函数；
（Ⅱ）如果对
不等式
恒成立，求实数的取值范围．
19.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是（0，5），且f(x)在区间
［－１，４］的最大值是12。
⑴求f(x)的解析式；
⑵是否存在自然数m,使得方程
在区间（m,m+1）内有且只有两个不等的实根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由。
专题练习参考答案：
C A D B B D
9.
6 10. 2 11. （－∞，－1） 12. 
13. 
14. （
，1）
15. 解：不等式的解是 
，依题设得
解这个方程组得 
可知不等式为 
即 
解得 
，故不等式的解集是
16. 解：（1）∵ f (x)<0 Û x-a<ax, 0<a<1
当x≥a时，原不等式 Û (1-a)x<a Û x<,即a≤x<,
当x<a时，原不等式 Û (1+a)x>a Û x>,<x<a.
∴ 不等式的解集为{x<x<}.
（2）f (x) = x-a-ax = ,
可知，当x≥a时函数单调递增，当x<a时函数单调递减，
所以函数f(x)有最小值f (a) = -a2
17. 
18. 解：（Ⅰ）当时，
∵
∴在上是减函数
（Ⅱ）∵不等式恒成立
即不等式
恒成立
∴不等式
恒成立
当
时， 
不恒成立
当时，不等式恒成立
即
∴
当时，不等式不恒成立
综上所述，的取值范围是
19. 解 （1）∵f(x)是二次函数，f(x)＜0的解集是（0，5）
∴可设f(x)=ax(x－5) （a＞0）
因为f(x)图象的对称轴为x=
,∴f(x)在区间[-1，4]上的最大值是f(-1)=6a,
由已知得6a=12,∴a=2 ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x (x∈R)
（2）方程f(x)+
=0等价于方程2x3-10x2+37=0
设h(x)= 2x3-10x2+37.则h(x)=6x2-20x=2x(3x-10)
当x∈(0,
) 时,
＜0,h(x)是减函数,
当x∈(,+∞) 时, ＞0,h(x)是增函数,
∵h(3)=1＞0，h()=
＜0，h(4)=5＞0∴方程h(x)=0在区间(3,)，(,4)内分别有唯一实数根，而在区间（0，3），（4，+∞)内没有实数根。
∴存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+=0 在区间（m,m+1）内有且
只有两个不同的实数根。