高考数学复习双基统一测试
数 学 试 题
本试卷分第I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn（k）=
球的体积公式：
（其中R表示球的半径）
球的表面积公式S=4πR2（其中R表示球的半径）
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的。.
|
，则（ ）∩B= （ ）
A．{
} B．
C．
D．
2．过点P（－2，4）作圆
的切线l，直线
与直线l平行，则a的值是 （ ）
A．2 B．
C．
D．4
3．若关于x的不等式
，对任意
恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量a=（λ，－2），b=（－3，5），且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A．
B．
| |
D．
|
A．①⑥ B．④⑤ C．②③ D．④⑥
6．已知a>b>c>0，t是方程
的实根，则t的取值范围是 （ ）
A．（－∞，－1） B．（－1，0） C．（0，1） D．（1，+∞）
7．正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则这个正方体的表面积与正四面体的表面积之比是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．要得到函数
的图象，只需将y=sin
的图象 （ ）
A．向左平移
B．向右平移 C．向左平移
D．向右平移
9．已知点P在曲线
上移动，若经过点P的曲线的切线的倾斜角为α，则a的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+…+2n－1），…的前n项和等于 （ ）
A．2n B．2n －n C．2n+1 －n－2 D．n·2n
11．（理科答）甲、乙两名篮球队员轮流投篮至某人投中为止。设每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他投篮结果的影响。设甲投篮次数为ξ，且甲先投，则P（ξ=k）= （ ）
A．
B．
C．
D．
（文科答）要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，如果按性别分层随机抽样，则组成此课外学习小组的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知P是以F1、F2为焦点的双曲线
上的一点，若
，tan
，则此双曲线的离心率为 （ ）
A．
B．3 C．5 D．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案直接写在横线上.
13．设函数
，则实数
的取值范围是
.
14．若
.
15．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法共有 种（用数字作答）.
16．已知
是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当
时，
，则
的值为
.
三、解答题（本大题共6个小题，共74分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本题12分）
已知点A（2，0）、B（0，2）、C（cosα，sinα），O为坐标原点，且
.
（1）若
，求
与
的夹角；
（2）若
，求tanα的值.
| |
18．（本小题12分）
已知
是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.
19．（本小题12分）
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D、E分别是BC、CC1的中点，AB=AA1.
|
（2）证明：BE⊥平面AB1D；
（3）求异面直线DE与A1B1所成角的大小.
20．（本小题12分）
（理科答）A、B两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中A队胜的概率为
，设各场比赛的胜负相互独立.
（1）求A队夺冠的概率；
（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求Eξ.
（文科答）甲、乙在罚球线投球命中的概率分别为
与
（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（2）甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
21．（本题12分）
已知函数
（1）若
上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是的极值点，求在
上的最小值和最大值.
22．（本小题14分）
已知A、B、D三点不在一条直线上，且A（－2，0），B（2，0），
（1）求E点的轨迹方程；
（2）过A作直线交以A、B为焦点的随圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为
，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程.
参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．A 9．A 10．C 11．（理）B
（文）A 12．D
二、填空题
13．
14．－65 15．51
16．
三、解答题
17．（本小题12分）
解：（1）
……（2分）
……………………………………（4分）
（2）
①
………………………………（8分）
②……………………（10分）
由①②，得
………………………………………………………………（12分）
18．（本小题12分）
[解法1]由已知
………………（2分）
当
…………（4分）
………………（8分）
当
……（10分）
所以，
成等比数列.………………………………………………（12分）
[解法2]由已知
，……………（2分）
当
成等比数列.…（6分）
当
…………………………（8分）
∴成等比数列.……………………………………………………（11分）
综上，成等比数列.………………………………………………（12分）
19．（本小题12分）
解：（1）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵BD=DC，∴AD⊥BC，
又B1B⊥底面ABC，由三垂线定理，知AD⊥DB1
|
在Rt△B1BD中，tan∠B1DB=
=2，
即二面角B—AD—B1的正切值为2.………………（4分）
（2）∵侧面BCC1B1为正方形，CE=EC1，BD=DE，
∴BE⊥DB1.………………………………（6分）
又AD⊥侧面BCC1B1，∴AD⊥BE，
∴BE⊥平面AB1D.…………………………（8分）
（3）取AC中点F，连FD，EF，∵A1B1∥AB∥DF，
∴∠EDF就是DE与A1B1所成的角.
设正三棱柱的各棱长均为2，则DE=
，
即DE与A1B1所成的角为
……………………………………（12分）
20．（本小题12分）
（理科答）解：（1）A队连胜3场的概率为
，……………………（1分）
打4场胜3场的概率为
，……………………（2分）
打5场胜3场的概率为
……………………（4分）
又以上事件是互斥的，
∴A队获胜的概率为P=P1+P2+P3=
……………………………………（6分）
（2）
，（A队连胜3场或B队连胜3场），……（7分）
；………………………………（8分）
；………………………………（10分）
.………………………………（12分）
（文科答）解：（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则
…………………………（2分）
∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为
，且为互斥事件，
.………………（5分）
故甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为
………………（6分）
（2）由于事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为
，
…………………………（8分）
因此甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一个命的概率为
（12分）
21．（本题12分）
解：（1）
……………………………………………………（2分）
设
上是增函数，
…………………………………………（6分）
（2）由已知
……………………（8分）
易知
有极大值点
，极小值点x=3，
此时，在[
，3]上是减函数，在[3，+∞
上是增函数.………………（10分）
∴在[1，a]上的最小值是
，最大值是
…………（12分）
22．（本小题14分）
解：（1）设E点的坐标为（
），
，……………………（2分）
∴E为BD的中点，OE为△ABD的中位线，
，…………………………（4分）
即点E的轨迹方程是
………………………………（6分）
|
，………………（6分）
即
又椭圆方程为
由方程组
得
………………（8分）
设
则
由已知
故所求的椭圆方程为
………………………………（14分）