高考数学复习导数变式题（命题人：广大附中 王映）
一 导数的概念与运算
1。如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
解析：∵s′=6t2，∴s′t=3=54. 答案：C
变式：定义在D上的函数
，如果满足：
，
常数
，都有
≤M成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.
文（1）若已知质点的运动方程为
，要使在
上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
理（2）若已知质点的运动方程为
，要使在上的每一时刻的瞬时速度是以M=1为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
解： （1） ∵
. 由
≤1，得
≤1
∴
令
，显然
在
上单调递减，
则当t→+∞时，→1. ∴
令
，显然
在上单调递减，
则当
时，
∴
∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
（2）∵
. 由≤1，得
≤1
∴
令
，则
.
当时，有
，
∴在[0，+∞
上单调递减.
故当t=0 时，有
；
又
，当t→+∞时，→0，
∴ 
，从而有
≤0，且
. ∴0≤a≤1；
故所求a的取值范围为0≤a≤1.
2.已知
的值是（ ）
A.
B.
2 C. 
D. －2
解：
得
选A
变式1：
（ ）
A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
解：
.
选B.
变式2：
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．人教版选修1－1第84页例2，选修2－2第8页例2：
根据所给的函数图像比较
变式：函数
的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. 
y
B. 
C. 
D. 
O 1
2 3 4 x
解：设x=2,x=3时曲线上的点为A、B,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ， T
y
B
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2
3 4 x
所以选B
4．人教版选修1－1第93页习题A组第4题，选修2－2第18页习题A组第4题，
求所给函数的导数：
。
变式：
设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 （ ）
A．(－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)
C．(－∞,－ 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)
5．人教版选修1－1第93页A组第6题、选修2-2第18页A组第6题
已知函数
.(1)求这个函数的导数；（2）求这个函数在点
处的切线的方程.
变式1：已知函数
.(1)求这个函数在点
处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.
解：（1）依题意得：切点为
，
由点斜式得切线方程
，
即
.
（2）
设切点为
由点斜式得
，
切线过原点，
切点为
由点斜式，得：
即：
变式2：函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A.
B. C. 
D. 1
解：设切点为
①
②
由①、②得
,选B
说明：1.在“某点处的切线”与“过某点的切线”意义不同，注意审题，后者一定要先“设切点的坐标” 2．求切线方程的步骤是：（1）明确切点；（2）确定该点处的切线的斜率（即该点处的导数值）；（3）若切点不明确，则应考虑先设切点.
6．人教版选修1－1第99页例2选修2－2第25页例2
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
变式1：函数
的一个单调递增区间是
A.
B. 
C. 
D. 
解：
，选A
或
（理科要求：复合函数求导）
变式2：（1） 已知函数
(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则
的值是
. (2)若函数在
上是单调增函数，则的取值范围是
.
解： (1)若函数的单调递减区间是（-3，1）
，(2) 若函数在上是单调增函数 
解：（1）
，因为函数的单调递减区间是（-3，1），
所以-3,1是方程
的两个实数根,由韦达定理，
（草图略）
（2）若函数在上是单调增函数
，
如图示，分类讨论：
① 当
即
即
条件成立；
② 
当
，即 
条件成立；
综上，
条件成立，
为所求.
变式3： 设
，点P（
，0）是函数
的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数
在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
解：（I）因为函数，
的图象都过点（，0），所以
，
即
.因为
所以
.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得
因此
故，
，
（II）解法一
.
当
时，函数单调递减.
由
，若
；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且
是（－1，3）
上的抛物线，
所以
即
解得
所以的取值范围为
7．人教版选修1－1第103页例4 ，选修2－2第29页例4
求函数
的极值.
人教版选修1－1第106页例5 ，选修2－2第32页例5
求函数在
上的最大值与最小值..
变式1：
函数的定义域为开区间
，导函数
在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：注意审题，题目给出的是导函数的图像。先由导函数取值的正负确定函数的单调性，然后列表可判断函数极小值点的个数。选A
变式2：已知函数
在点
处取得极大值
，其导函数
的图象经过点
，
，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）
的值.
解：
（Ⅰ）由图得
| X | (0,1) | 1 | (1,2) | 2 | |
|
| | 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
则=1;
（Ⅱ）依题意得
即
.
变式3：
若函数
，当
时，函数有极值
，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数
有3个解，求实数
的取值范围．
解：
（1） 由题意：
所求解析式为
（2）由（1）可得：
令
，得或
当
变化时，
、
的变化情况如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| — |
|
|
|
| 单调递增↗ |
| 单调递减↘ |
| 单调递增↗ |
因此，当时，有极大值
当时，有极小值
函数的图象大致如图：……13分
y=k
由图可知：
变式4：已知函数
，对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
解：
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
| X | （－¥，－ | － | （－ | 1 | （1，＋¥） |
| f¢（x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f（x） | | 极大值 | ¯ | 极小值 | |
f（x）＝x3－
x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－
时，f（x）＝
＋c为极大值，
而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
三、导数的在研究函数中的应用及生活中的优化问题
8.人教版选修1－1第108页B 组习题，选修2－2第34页B组习题
利用函数的单调性，证明：
变式1：证明：
，
证明：（1）构造函数
，
，当
，得下表
|
|
|
| |
|
| + | 0 | — |
|
| 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
总有
另解，当，
当
，
单调递增，
……①
当
，
单调递减，
………………②
当
…………………………………………………………③
综合①②③得：当时，
（2）构造函数
，
当
，当
单调递减；
当
单调递增；
极小值=
，
总有
即：
.
综上（1）（2）不等式成立.
变式：（理科）设函数f(x)=(1+x)2－ln(1+x)2.若关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
解：
方程f(x)=x2+x+a, 即x－a+1－ln(1+x)2=0，记g（x）=x－a+1－ln(1+x)2.
所以
.由
>0,得x<－1或x>1,由<0
得－1<x<1.
所以g(x)在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，为使f(x)=x2+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0在
上各有一个实根，于是有
9. 函数
若
恒成立,求实数
的取值范围
解：由
，得
单调递增；
又
，
所以是奇函数.
，
在
上单调递增， 
恒成立，即：
恒成立，分类：①当
恒成立，
适合；
②当
恒成立
解得：
综上，
说明:（1）通过研究函数的性质（单调性与奇偶性），利用函数的性质解决不等式问题，是函数思想的重要应用.（2）找寻使
恒成立的条件实际上依然用的是函数图像（数形结合）的函数思想.
变式:设函数若
恒成立，求实数的取值范围.
解：由，得单调递增；
又，
所以是奇函数.
，
恒成立，即
恒成立.
①当
成立；
②当
10.如图,曲线段OMB是函数
的图象,
轴于点A,曲线段OMB上一点M
处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q
(1)若t已知,求切线PQ的方程 (2)求
的面积的最大值
解：（1）
，所以过点M的切线的斜率为
由点斜式得切线PQ方程为
，
即
……①
(2)
…………②
对①令x=6得
…………③
令y=0得
…………④
③④代入②得
，令
解得
| T | (0,4) | 4 | (4,6) |
| S’ | + | 0 | - |
| S | 增 | 极大值64 | 减 |
所以当t=4时
有极大值64,
所以当t=4时,的面积的最大值为64.
11.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大的容积是多少？
解：设容器的高为x，容器的体积为V.
则
(0 < x < 24)
＝
x
∵
x
由
∴
所以 当
又
所以 
0
答：该容器的高为10cm时，容器有最大容积19600
12.某厂生产某种产品件的总成本
（万元），已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大？
分析：先建立总利润的目标函数，总利润=总销售量-总成本C(x)= 产品件数*产品单价-C(x),因而应首先求出产品单价P(x)的解析式.
解：设产品的单价P元，据已知，
，
设利润为y万元，则
，
递增；
递减，
极大=
最大.
答：当产量为25万件时，总利润最大
四、理科定积分、微积分
选修2-2第59页例1、例2
计算下列定积分：
变式1：计算：；
（1）
；（2）
解：.（1）
(2)利用导数的几何意义：
与x=0,x=2所围图形是以(0,0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为
（图略）
变式2： 求将抛物线
和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体的体积.
分析：利用定积分的定义解题，应当画出草图.
解：先求出抛物线和直线交点坐标（1，1），（1，-1）
利用定积分的定义易得：
变式3：在曲线
上某一点A处作一切线使之与曲线以及轴所围的面积为
，试求：（1）切点A的坐标；（2）在切点A的切线方程.
