13.3 导数的综合问题
●知识梳理
1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程
（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：
（1）求导数（x）；
（2）求方程（x）=0的根；
（3）检查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.
2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值.
●点击双基
1.函数f（x）=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是
A.1，－1 B.1，－17
C.3，－17 D.9，－19
解析：（x）=3x2－3=0，x=±1，f（－3）=－17，f（0）=1，f（1）=－1，f（－1）=3.
答案：C
2.函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则
A.0<b<1 B.b<1
C.b>0
D.b<
解析： （x）=3x2－3b，当b>0，0<
<1时，适合题意.
答案：A
3.已知f（x）=2x3－6x2+m（m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值是
A.－37 B.－29
C.－5 D.以上都不对
解析：（x）=6x（x－2），f（x）在（－2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数的，x=0时，f（x）=m最大.
∴m=3，f（－2）=－37，f（2）=－5.
答案：A
4.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值，则a+b=________.
解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3，b=－9.
答案：－12
5.设函数f（x）=x3－
－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是________.
解析：（x）=3x2－x－2=0，x=1，－
，
f（－1）=5，f（－）=5
，f（1）=3，f（2）=7.
∴m<3.
答案：m∈（－∞，
）
●典例剖析
【例1】 （2004年天津，20）已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.
剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右（x）的符号.
（2）要分清点A（0，16）是否在曲线上.
解：（1）（x）=3ax2+2bx－3，依题意，（1）=（－1）=0，即
解得a=1，b=0.
∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）.
令（x）=0，得x=－1，x=1.
若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则（x）＞0，
故f（x）在（－∞，－1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数.
若x∈（－1，1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数.
所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.
（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x.
∵（x0）=3x02－3，
∴切线方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）.
代入A（0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.
解得x0=－2，∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.
评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
【例2】 （2004年天津，21）已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值－2.
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式f（x1）－f（x2）＜4恒成立.
剖析：∵x∈R且f（x）是奇函数，
∴f（0）=0.
又x=1是极值点，∴（1）=0，由此可得函数的解析式.
（1）解：由奇函数定义，
应有f（－x）=－f（x），x∈R，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d，∴d=0.
因此f（x）=ax3+cx，（x）=3ax2+c.
由题意知
解得a=1，c=－3.
∴f（x）=x3－3x，（x）=3x3－3=3（x－1）（x+1），（－1）=（1）=0.
当x∈（－∞，－1）时，（x）＞0，故f（x）在单调区间（－∞，－1）上是增函数，
当x∈（－1，1）时，（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数，
当x∈（1，+∞）时，（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，+∞）上是增函数.
∴（－∞，－1）和（1，+∞）为增区间；
（－1，1）为减区间，x=－1时，f（－1）=2为极大值，
x=－1时，f（1）=－2为极小值.
（2）f（－1）=2，f（1）=－2.
∵f（x）在（－1，1）上是减函数，
∴对任意x1、x2∈（－1，1），有－2<f（x1）<2，－2<f（x2）<2，
－4<f（x1）－f（x2）<4，即f（x1）－f（x2）<4.
评述：由奇函数定义可知当x=0时，则有f（0）=0，即函数过原点.对于本题的第（2）问，用数形结合法较为直观.
【例3】 设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f（x）=0的一个根.
（1）求n的值；
（2）求证：f（1）≥2.
剖析：由题知x=0是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?
解：（1）（x）=3x2+2mx+n.
∵f（x）在（－∞，0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，
∴当x=0时，f（x）取到极大值.
∴（0）=0.∴n=0.
（2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），
（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－
，
∵函数f（x）在［0，2］上是减函数，
∴x2=－≥2.∴m≤－3.
∴f（1）=m+p+1=m－4（m+2）+1=－7－3m≥2.
评述：此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点.再证f（1）≥2时，首先将f（1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.
【例4】 对于函数y=f（x）（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x）为D上的闭函数.
①f（x）在D上为单调函数；
②存在闭区间［a，b］
D，使f（x）在［a，b］上的值域也是［a，b］.
（1）求闭函数y=－x3符合上述条件的区间［a，b］；
（2）若f（x）=x3－3x2－9x+4，判断f（x）是否为闭函数.
剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.
解：（1）∵y=－x3，∴y′=－3x2≤0.
∴函数y=－x3为减函数.
故
即
∴
所求闭区间为［－1，1］.
（2）（x）=3x2－6x－9.
由（x）≥0，得x≥3或x≤－1.
由（x）≤0，得－1≤x≤3.
∴f（x）在定义域内不是单调函数.故f（x）不是闭函数.
评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.
●闯关训练
夯实基础
1.函数y=x4－8x2+2在［－1，3］上的最大值为
A.11 B.2 C.12 D.10
解析：y′=4x3－16x=4x（x2－4）.
由y′=0及x∈［－1，3］知x=0或x=2.
根据单调性知f（x）max=f（3）=11.
答案：A
2.函数f（x）=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，当a2－3b<0时，f（x）是
A.增函数 B.减函数
C.常数 D.既不是增函数也不是减函数
解析：（x）=3x2+2ax+b，Δ=4a2－12b<0，
∴（x）>0，f（x）是增函数.
答案：A
3.y=3x－x3的极大值是________，极小值是________.
解析：f（x）在（－∞，－1）和（1，+∞）上递减，在（－1，1）上递增，f（－1）=－2为极小值，f（1）=2为极大值.
答案：2 －2
4.（2005年北京西城区模拟题）如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y=f（x）在区间（－3，－）内单调递增；
②函数y=f（x）在区间（－，3）内单调递减；
③函数y=f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；
⑤当x=－时，函数y=f（x）有极大值.
则上述判断中正确的是________.
答案：③
5.如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x2（0<x<6）的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t））处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q，
（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示△QAP的面积g（t），若函数g（t）在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值.
解：（1）（x）=2x，
∴k=2t，切线PQ的方程为
y－t2=2t（x－t），即2tx－y－t2=0.
（2）由（1）可求得P（
，0），Q（6，12t－t2），
∴g（t）=S△QAP=（6－t）（12t－t2）=
t3－6t2+36t（0<t<6），g′（t）=
t2－12t+36.令g′（t）<0，得4<t<12.
考虑到0<t<6，∴4<t<6，即g（t）的单调减区间为（4，6）.
∴m的最小值为4.
6.直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围.
解：先求函数f（x）的单调区间，由（x）=3x2－3=0，得x=±1.当x<－1或x>1时，（x）>0；当－1<x<1时，（x）<0.
∴在（－∞，－1）和（1，+∞）上，f（x）=x3－3x是增函数；
在（－1，1）上，f（x）=x3－3x是减函数，由此可以作出f（x）=x3－3x的草图（如图）.
由图可知，当且仅当－2<a<2时，直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点.
培养能力
7.已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在［－3，1］上的最值.
解：（1）（x）=12x2+2ax+b，（1）=12+2a+b=－12. ①
又x=1，y=－12在f（x）的图象上，
∴4+a+b+5=－12. ②
由①②得a=－3，b=－18，
∴f（x）=4x3－3x2－18x+5.
（2）（x）=12x2－6x－18=0，得x=－1， 
，f（－1）=16，f（）=－
，f（－3）=－76，f（1）=－13.
∴f（x）的最大值为16，最小值为－76.
8.已知实数a>0，函数f（x）=ax（x－2）2（x∈R）有极大值32.
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
解：（1）∵f（x）=ax（x－2）2=ax3－4ax2+4ax，
∴（x）=3ax2－8ax+4a.
由（x）=0，得3ax2－8ax+4a=0.
∵a≠0，∴3x2－8x+4=0.
解得x=2或x=.
∵a>0，∴x<或x>2时，（x）>0；
<x<2时，（x）<0.
∴当x=时，f（x）有极大值32，即
a－
a+
a=32，∴a=27.
（2）f（x）在（－∞，）和（2，+∞）上是增函数，在（，2）上是减函数.
9.已知f（x）=ax5－bx3+c（a>0）在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值.
解：已知f（x）=ax5－bx3+c，
所以（x）=5ax4－3bx2=x2（5ax2－3b）.
根据题意（x）=0应有根x=±1，
故5a=3b.
所以（x）=5ax2（x2－1）.
因a>0时，列表：
| x | （－∞，－1） | －1 | （－1，1） | 1 | （1，+∞） |
|
| + | 0 | － | 0 | + |
| f（x） |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
|
①+②得c=2，
①－②得b=a+2.
又5a=3b，所以a=3，b=5，c=2.
探究创新
10.有点难度哟！
用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x+0.5） m，高为
=3.2－2x（m）.
由3.2－2x>0和x>0得0<x<1.6.
设容器的容积为y m3，
则有y=x（x+0.5）（3.2－2x）（0<x<1.6），
整理，得y=－2x3+2.2x2+1.6x.
∴y′=－6x2+4.4x+1.6.
令y′=0，有－6x2+4.4x+1.6=0，即15x2－11x－4=0.
解得x1=1或x2=－
（不合题意，舍去）.
从而在定义域（0，1.6）内只有在x=1处使得y′=0.
因此，当x=1时，y取得最大值且ymax=－2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2－2×1=1.2.
●思悟小结
1.（x0）=0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件，如函数y=x3在x=0处.
2.函数f（x）在极值点不一定可导，如函数y=x在x=0处.
3.注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值.
4.体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用.
●教师下载中心
教学点睛
1.导数的基本应用如下表：
2.应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.
拓展题例
【例1】 函数y=2x3+3x2－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.
解析：y′=6x2+6x－12=0.
x=1，－2，f（－3）=20，f（－2）=34，f（1）=7，f（4）=142.
答案：142 7
【例2】 设x=－2与x=4是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.
（1）求常数a、b；
（2）判断x=－2，x=4是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解：（1）（x）=3x2+2ax+b.
由极值点的必要条件可知x=－2和x=4是方程（x）=0的两根，则a=－3，b=－24.
（2）（x）=3（x+2）（x－4），得
当x<－2时，（x）>0；
当－2<x<4时，（x）<0.
∴x=－2是f（x）的极大值点.
当x>4时，（x）>0，则x=4是f（x）的极小值点.