高考数学全真模拟冲刺试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合
，若
，则
等于 （ ）
A． 1 B. 2 C. 1或2 D 8
2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为
，值域为
的“同族函数”共有 （ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
3．数列
中，
，
，且数列
是等差数列，则
等于 ( )
A．
B．
C．
D．5
4．把函数
的图象沿向量
的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
（
）
A．
B．
C．
D．
5、Ｏ是平面上一定点，Ａ、Ｂ、Ｃ是平面上不共线的三个点，动点Ｐ满点
，则Ｐ点的轨迹一定通过
的
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 （ ）
6．过点
作直线
与圆
交于A、B两点，如果
，则 （ ）
A．的方程为
;
B．的方程为
;
C．的方程为
;
D．的方程为
;
7．F1、F2是双曲线
的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为
（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．6
8．已知复数
=a+i，z2=1+a 2 i，若
是实数，则实数a的值等于
（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
9．如图正六边形ABCDEF中，AC∥y轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形如y=ax 2+bx+c (a≠0)的抛物线的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．条件中能使命题“a//b且b//c
a//c”为真命题的条件的个数是 （ ）
① a，b，c都表示直线； ② a，b，c中有两个表示直线，另一个表示平面；
③ a，b，c都表示平面； ④ a，b，c中有两个表示平面，另一个表示直线；
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数
的部分图像，则
可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．一机器猫每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动。如果将此机器猫放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动。令P（n）表示第n秒时机器猫所在位置的坐标，且P（0）=0，则下列结论中错误的是 （ ）
A．P（3）=3 B．P（5）=1 C．P（101）=21 D．P（101）> P（104）
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
13．在平面直角坐标系中，x轴的正半轴上有2006个点，y轴的正半轴上有2007个点，这4013个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个.（用式子作答）
14．若不等式
的解集为
，则实数的取值范围是______________
15．若
，则
______(用数字作答).
16．对于直角坐标平面内的任意两点
，定义它们之间的一种“距离”：
。给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则
②在△ABC中，若∠C=900，则
③在△ABC中
。其中真命题的是______________
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题12分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，且满足b2 = ac．
(1)求角B取值范围； (2)求函数
的取值范围．
18．（本题12分）小张有一只放有a个红球，b个黄球，c个白球的箱子，且a+b+c =6 (a，b，c
N)，小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.
(1) 用a、b、c表示小张胜的概率；
(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.
19．（本题12分）设函数
其中
.
（1）
若
,且函数
的最大值为2,最小值为
,求的解析式；
（2）在（1）的条件下设函数
在
上的值域是
，试求
的取值范围.
20．（本题12分）直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的菱形，且
，侧棱AA1长等于3a，O为底面ABCD对角线的交点.
（1）求证：OA1∥平面B1CD1；
（2）求异面直线AC与A1B所成的角；
（3）在棱
上取一点F，问AF为何值时，C1F⊥平面BDF？
21．（本题12分）
已知双曲线M：x2－y2=1，直线l与双曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、双曲线M、直线y=－x于A、B、C、D 四点，O为坐标原点．
(1) 若
，求△AOD的面积；
(2) 若△BOC的面积等于△AOD面积的
，求证： ．
22．（本题14分）已知数列
满足
＞0，且对一切n∈N+ ，有ni=1=，其中Sn=ni=1ai，
(1) 求证：对一切n∈N+，有-an+1=2Sn；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 求证：nk=1＜3．
数学答案
一、选择题
1、答案C。由集合N中的不等式得0<x<3，又由于
，故
，所以a=1或2
2、答案C。
分别令x2=1和4得x=
。要使得值域为，定义域必含
中的至少一个和
中的至少一个。所以组合起来有如下9种：
，
3、答案B。数列
的公差为
，所以
=，因此=
4、答案C。=
，按a平移得
，令
=
，得
，当k=1时m取得最小正值。
5、答案B。由结构
想到向量的数量积，原式即为
，等式两边同时点乘
，得
，所以P过的垂心。
6、答案A。由
得圆心到直线的距离为3，再由点到直线的距离公式得直线的斜率是
，得到一个解，说明可能存在的另一条直线的斜率不存在，故去验证得A答案。
7、答案D。由于双曲线中a+c=4+6=10>9，所以点P只能在靠近焦点F1的那一支上，故
8、答案B
。 
，故a 3+1=0，得a =－1.
9、答案 C。 由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线，但两点连线不能与纵轴平行，
故其概率为
10、答案B。①由公理4可得，③是两平面平行的判定定理，②和④可通过一一验证来否定。
11、答案A。由图知此函数是偶函数，故排除B与D，又函数图象落在
区域内，所以选A。
12、答案D。由于“机器猫以前进3步，然后再后退2步的规律移动”，因此可以认为机器猫的运动以5为周期向前前进1步。易推A与B成立，101除以5得20余1，所以P（101）=21，而104除以5得20余4，故P（104）=22 > P（101）
二、填空题：
13、答案为
。 构造凸四边形，凸四边形对角线的交点在凸四边形内，故最多有个点。
14、答案为
。令
，它表示以（2，0）为圆心、2为半径的上半个圆；令
，它表示一条过原点的直线。现要使得
在0<x≤4成立，即在0<x≤4时直线落在半圆下方，故斜率。
15、答案为0。 两边求导，再分别把x赋值x=2，x=0，最后把所得两式相乘即得.
16、答案为①。设
，利用定义知①成立；②③验证可以先这样建系：以C为原点，CA为x轴的正向建系，则
，故②不成立，③不成立。
三、解答题：
17．(1)由b2=ac和由余弦定理，得
……………………………2分
≥
． ……………………………4分
又∵B∈(0，π)， ∴ 0＜B≤
． ……………………………6分
(2)
=
=
， ……………………………8分
又 0＜B≤，∴
＜B+
≤
．……………………………10分
∴ 
，即原函数的值域是(1，
)．………………12分
18、解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球)
=
+ 
+ 
=
……………………………5分
(2)
设小张的得分为随机变量
，则
P(=3)= ，P(=2)= ，P(=1)= ，
P(=0)=1一P(小张胜)=1一，……………………………9分
∴E=3×+2×+1×+0×(1一)
= 
∵ a，b，c∈N，a+b+c=6，∴b=6，此时a=c=0，
∴当b=6时，E= 
，此时a=c=0，b=6…………………12分
19．解：（1）因为 
又 ，所以 
因为 
，…………………2分
所以 当
时，
，
当
时，
；
…………………4分
解得：
所以 
；
…………………6分
（2）
因为
又
…………………8分
因为 当
时，值域为.
所以 
或
, …………………10分
所以 
,
所以 
. …………………12分
20．（方法一）(1) 连A1C1，设其与B1D1交于点O1.
∵A1O1
OC, ∴四边形A1O1OC为平行四边形，
∴OA1//O1C, 
平面B1CD1, 
平面B1CD1，
∴OA1∥平面B1CD1.…………………………3分
(2) ∵A1C1//AC，∴
就是异面直线AC与A1B所成的角或其补角.
由题意得
根据余弦定理得 
……………………6分
故异面直线AC与A1B所成的角为
…………………………………7分
(3) ∵ABCD是菱形，∴
又
∴
平面
.
∵
平面，∴
……………………………………………9分
故C1F⊥平面BOF 
∴
.……………10分
设
，则
∴
即
解得
故当AF
时，C1F⊥平面BOF.………………………12分
（方法二） 以O为原点，OC、OD所在直线分别为
x轴、y轴，则O(0, 0, 0), 
，
，
，
，
.……………3分
(1) 
∴
平面
，
平面，
∴OA1∥平面B1CD1.……………………………………………………………………5分
（2）
，
，
于是
故异面直线AC与A1B所成的角为……………………………………8分
(3) 设
为
上任意一点，则
.
∵
，于是C1F⊥平面BOF
解得
. 即
时，C1F⊥平面BOF.………………………12分
21．（1）设
得
…………………………………………2分
显然
,
即
.
设
………………………………………………4分
设
由
。
, 所以
。………………………………6分
所以 
, 整理，得 
.
, 
…………………………………………………8分
（2）设
,
……………………………………10分
, 
, 
.
又
, 
…12分
22． (1) 由ni=1
=Sn2， (1)
得n＋1i=1=Sn＋12， (2)
…………………2分
(2)-(1)，得
=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2 Sn+an+1)
an+1．
∵ an+1 ＞0，∴an＋12-
=2Sn． …………………4分
(2)由an＋12-=2Sn，及an2-an =2Sn-1 (n≥2)，
两式相减，得(an+1+ an)( an+1-an)= an+1+ an．
∵an+1+ an ＞0，∴an+1-an =1(n≥2) …………………6分
当n=1，2时，易得a1=1，a2=2，∴an+1 - an =1(n≥1)．…………………8分
∴{ an}成等差数列，首项a1=1，公差d=1，故an=n ． …………………9分
(3)nk=1
=nk=1
＜1＋nk=2
＜１＋nk=2=
=1＋ nk=2(- ) =1＋1＋
-
- ＜2＋＜3．
…………………14分