高考数学冲刺预测试卷
本卷满分：150分 试卷用时：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题） 和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分。共150分。考试时间120分钟。
|
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共10小题、每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，
，
，则p是q的 （ ）
A．充分条件，但不是必要条件 B．必要条件，但不是充要条件
C．充分必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件
2．（理）
z∈C，若z－
=2－4i，则
的值是（ ）
A．1 B．－1 C．i D．－ i
（文） 若
，则用a表示sin40°的结果为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知直线
、
及平面
，
，
，则与的位置关系为 （ ）
A．与相交，不垂直 B．
C．
D．以上三种情况都有可能
4．若偶函数y=f（x）（
R）满足f（x+2）= f（x），且x∈（－1，0）时，
，则函数y=f（x）的图象与函数
图象的交点的个数为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．从单词“exclaim”中选取5个不同的字母排成一排，则含“ex”（“ex”相连且顺序不变）的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．f’（x）是f（x）的导函数，f’（x）的图象如图所示，则f（x）的图象只可能是（ ）
A B C D
7．路灯距地平面为8m，一个身高为1.75m的人以80m/min的速率从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为v为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知点P（x，y）的坐标满足
，设A（6，0），则
（O为坐标原点）的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．1
9．过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为
，那么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
10．双曲线
的一个焦点为F，点P在双曲线上，且
（O为坐标原点），则△OPF的面积S＝（ ）
A．1 B．
C．4 D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题。本大题共5小题，每小题5分。共25分。把答案填在题中横线上。
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在A上，且AM=
AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是
。
12．在△ABC中，内角A满足
，且
，则A的取值范围是_________。
13．已知函数f（x）=x2－2ax+b（x∈R）。给出下列命题：
①f（x）必是偶函数；
②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于直线x=1对称；
③若a2－b≤0，则f（x）在区间[a，+∞]上是增函数；
④f（x）有最大值a2－b。
⑤f（x）有最小值0。
其中正确命题的序号是_________。
14．一烷烃起始物的分子结构式是
，将其中的所有氢原子用甲基取代得到：
，再将其中的12个氢原子全部用甲基代换，如此循环以至无穷，球形烷烃分子由小到大成一系列，则在这个系列中，由小到大第n个分子中含有的碳原子的个数是_______。
15．（文）已知
（其中
，且
），设
，函数
，在x=1处有极限，则实数a的值是 。
（理）已知（其中，且），设，函数，在x=1处连续，则实数a的值是 。
三、解答题。本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知三次函数
在
单调递增。
（1）求实数a的取值范围。
（2）设向量
（－sinx，2），
（－2sinx，），
（cos2x，1），
（1，2），当
[0，
]时，求不等式f（a·b）＞f（c·d）的解集．
17．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC－A’B’C’中，CB⊥平面ABB’A’，点E是棱BC的中点，AB＝BC＝AA’。
（I）求证直线CA’//平面AB’E；
（II）（文）求二面角C－A’B’－B的大小；
（理）求直线CA’与平面BB’C’C所成角的大小。
18．（本小题满分12分）
设椭圆
的焦点分别为F1（－1，0）、F2（1，0），右准线l交x轴于点A，且
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值和最小值。
19．（本小题满分12分）
某大学的研究生入学考试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为x，英语成绩为y，结果如下表：
|
x | 英 语 | |||||
| 1分 | 2分 | 3分 | 4分 | 5分 | ||
| 政 治 | 1分 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| 2分 | 1 | 0 | 7 | 5 | 1 | |
| 3分 | 2 | 1 | 0 | 9 | 3 | |
| 4分 | 1 | b | 6 | 0 | a | |
| 5分 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
y 人数（Ⅰ）求a +b的值；
（Ⅱ）求政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率；
（Ⅲ）（文）若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，求a、b的值；
（理）若y的数学期望为
，求a、b的值。
20．（本小题满分13分）
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c是的图象经过原点，且在x=1处取得极值，直线y=2x+5到曲线y=f（x）在原点处的切线所成的夹角为450。
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β恒有不等式 f（2sinα）―f（2sinβ）≤m成立，求m的最小值；
（3）若g（x）=xf（x）+tx2+kx+s，是否存在常数t和k，使得对于任意实数s，g（x）在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0（x0>1）使得g（x）在[1，x0]上递减？若存在，求出t+ k的取值范围；若不存在，则说明理由。
21．（14分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，
，且
。
（1）求a的值；
（2）若对于任意
，总存在
，使
，求b的值；
（3）在（2）中，记{cn}是所有{an}中满足
， 的项从小到大依次组成的数列，又记
为{cn}的前n项和，
是数列{an}的前n项和，求证：≥
。
高考数学冲刺预测试卷
参考答案
一、选择题
1．选C。
，=
，
，p是q的充分必要条件。
点评：本题主要考查集合、解不等式和充要条件的知识，以及分析问题和解决问题的能力。
2．（理）选C。设z=a+bi，z－z=2－4i，则a=3，b=－4，∴z=3－4i．
。
点评：本题主要考查复数的基本概念和基本运算，这是高考的常见题型，应注意把握好难度。
（文）选B．∵，∴
，即
。
，
。
点评：本题主要考查同角的三角函数的化简和诱导公式。
3．选D。位置不确定。
点评：本题主要考查直线与平面的位置关系，以及空间想象能力。
4．选C。函数
以2为周期，画出的图象，数形结合。
点评：本题主要考查函数的周期和函数的图象，以及数形结合的思想。
5．选A。从除e和x外，还有5个不同的字母， 含“ex”的排列数是
，从7个不同的字母的排列数是
，故含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为
。
点评：本题主要考查古典概率问题及排列与组合的基础知识。
6．选D。由
的图象可知， 
斜率先增大后减小。
点评：本题主要导数与函数的综合以及函数的单调性。
7．选A。如图，路灯距地平面的距离为DC，人的身高为EB。设人从C点运动到B处路程为x米，时间为t（单位：秒），AB为人影长度，设为y，则∵BE∥CD，∴
。
∴
，又80 m/min=
1.4 m/s，
∴y=
x=
t（x=t）。
∵y′=，∴人影长度的变化速率为m/s。
点评：本题主要考查有关射影知识和平面几何的相似比。
8．选B。就是
在
上的射影，要求其最大值，就是求点P的横坐标x的最大值，这只需作出的平面区域，即可看出x－4y+3=0与3x+5y=25的交点（5，2）就是取最大值时P点的位置。
点评：本题主要考查线形区域与平面向量的基本知识。
9．选C。设正三棱锥的高为
，底面正三角形的边长为
，
，
。
这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值=
。
点评：本题主要考查正三棱锥的有关知识和二面角的平面角的求法。
10．选D。不妨设F为右焦点，则
。由于，所以点P在以原点为圆心， 
为半径的圆上，即
，联立消去x得
，
。
点评：本题主要考查双曲线与直线、平面向量等基础知识，以及分析问题的能力。
二、填空题。
11．填
。过P点作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连PH，利用三垂线定理可证PH⊥A1D1．设P（x，y），
∵PH2
－ PH2 = 1，∴x2 +1－ [（x
）2+y2] =1，化简得。
点评：本题主要考查立体几何与解析几何的轨迹问题，这是高考命题的一个新趋势。
12．填（
，
）。∵，即
，
，∴
，又∵，即
，
，∴
，∴
。
点评：本题主要考查同角的三角函数的化简，以及两角和的正弦公式的应用，和解三角不等式。
13．填③。当a2－b≤0时，f（x）=x2－2ax+b，图象的对称轴为x=a，开口向上，③对。
点评：本题主要考查二次函数的有关性质与绝对值等知识。
14．填2×3n－1－1。烷烃的通式为
，设第n个分子中C原子个数为an，则an+1=an+2an+2，故an=3n－1（a1+1）－1=2×3n－1－1。
点评：本题主要考查数学与化学知识的综合，以及递推数列的通项的求法。
15．填2。∵
，∴
，又
。
点评：本题主要考查函数的极限以及组合的知识，以及分析问题和解决问题的能力。
三、解答题。
16．解析：（1）∵，∴
。
∵在单调递增， ∴
。
∴
在恒成立， ∴
。
（2） ∵在单调递增，
∵
，
，
，
，
，
，
∴
，
。
∵
，∴
。
综上：
的解集是
。
点评：本题主要考查导数、函数、三角函数与平面向量等知识的综合，以及分析问题和解决问题的能力．平面向量与三角函数的综合，是近几年高考考试的热点，应引起足够的重视。
17．证明：（I）∵平面PAD⊥平面ABCD，AD为交线，CD⊥AD
平面PAD
平面PAD
又
为正三角形，E为PD中点
平面PCD 6分
（II）（文）作PQ//AB且PQ＝AB，连QB、QC可得AD＝BC＝BQ＝AP＝DP＝CQ
平面PAD，所以
是平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角
平面PAB与平面PDC所成二面角的大小为60° 12分
（理）作
，则F为QC中点，连PF
∴四边形AEFB是平行四边形，BF//AE
平面PDC
平面PDC
是BP与平面PDC所成的角
设PA＝a，则
，
则由直三角形PFB可得
，
。
直线PB与平面PDC所成角的大小为
。 12分
点评：本题主要考查立体几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。本题也可以采用向量法来处理。
18．解：（Ⅰ）由题意，
…………………2分
，
，
∴
为AF1的三等分点。 ……………………………………………3分
，
。
即椭圆方程为
…………………………………………………5分
（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，
，
此时
，四边形DMEN的面积为
。
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为。…6 分
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE∶
，代入椭圆方程，消去
y得：
设
∴
，
∴
，
同理，
………………………8分
∴四边形的面积
，………………………………10分
令
∵
当
，且S是以u为自变量的增函数，
∴
。
综上可知，四边形DMEN面积的最大值为2，最小值为
。………………12分
点评：本题主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。本题也可以采用向量法来处理。直线与圆锥曲线的位置关系问题是历年高考中经久不衰的重要题型，应复习到位，尤其是与平面向量的综合应引起足够的重视。
19．解：（Ⅰ）考生总人数是50，因此表中标出的总人数也应是50，所以a +b+47=50，
故a +b=50－47=3； ………………………………4分
（Ⅱ）从表中可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，所以其概率为
．
………………………………8分
（Ⅲ）（文）因为若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，
所以P（x=4，y=2）=
P（x=4）·P（y=2），即
，
解得： b=1，a=2． …………………………………12分
（理）由已知
，解得：a=1，b=2。
………………………………12分
点评：本题主要考查概率与统计的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。概率与统计的应用题是经几年高考应用题的热点题形，应引起足够的重视。
20．解： （1）由题意有f（0）= c=0，f（x）=3 x2+2ax+b，且f（1）= 3+2a+b=0。
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f（0）= b，而直线y=2x+5到它所成的夹角为45°，
∴1=tan45°= ，解得b=― 3．代入3+2a+b=0得a=0。
故f（x）的解析式为f（x）=x3― 3x。
（2）∵对于任意实数α和β有2sinα，2sinβ∈[－2，2]。
由f（x）=3x2―3=3（x―1） （x+1）可知，f（x）在（－∞，―1]和[1，＋∞）上递增；在[－1，1]递减。
又f（―2）= ―2，f（―1）= 2，f（1）= ―2，f（2）= 2，
∴f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值分别为―2和2。
∴对于任意实数α和β恒有 f（2sinα）―f（2sinβ）≤4。
故m≥4，即m的最小值为4。
（3）∵g（x）=x（x3― 3x）+tx2+kx+s= x4+（t―3）x2+kx+s，∴g（x）= 4 x3+2（t―3）x+k，
∴要使g（x）在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0（x0>1）使得g（x）在[1，x0]上递减，只需在[－3，―2]和[1，x0]上g（x）≤0，而在[－1，0]上g（x）≥0。
令h（x）= g（x），则h（x）= 12 x2+2（t―3），当t―3≥0时，h（x）在R上恒为非负，此时显然不存在这样的常数t和k，∴t―3<0。
当t―3<0时，g（x）在（－∞，―]和[，+∞）上递增，而在[―，―]上递减。
∴要使h（x）在[－3，―2]和[1，x0]上h（x）≤0，而在[－1，0]上h（x）≥0，只需h（―2）= ―32―4 （t―3）+k
即
作出可行域如图所示，由图可知，当直线t+ k= z过A点时z取得最大值5，当直线t+ k= z过B点时z取得最大值―5。
故存在这样的常数t和k，其取值范围为[－5，5]。
点评：本题主要考查解析几何、导数、函数及不等式的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。
21．解析：（1）∵
，a，
，
∴
∴
∴
∴
．
∴a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）．∴a＝2．
（2）
，
，由可得
．∴
．
∴b＝5。
（3）由（2）知
，
， ∴
．
∴
．
∴
，
．
∵
，
．
当n≥3时，
．
∴
．
综上得
．
点评：本题主要考查两个基本数列和不等式的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力。解决本题第（1）小题的关键是利用条件确定
的值，第（2）小题关键是利用二项式定理
=
>1+
进行放缩得到。有关数列和不等式的综合题经常出现在高考压轴题中。