集合、逻辑联结词、函数（理科）高考备考建议
东莞中学 庞进发
一、 集合与常用逻辑用语.
I．集合.
【考纲要求】
（1）集合的含义与表示
① 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.
（2）集合间的基本关系
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.
（3）集合的基本运算
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
③ 能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算.
【课时建议】2课时
【07年考纲与06年考纲的比较】
| 07考纲（新） | 06考纲（旧） |
| 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算. | 掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. |
| 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. | 了解属于、包含、相等关系的意义. |
【备考重点、难点】
集合是高中数学的基本语言，学生通过学习集合知识，有利于简明准确地表述数学内容。学生学习集合的初步知识是掌握和使用数学语言的基础。在进行复习时，不要追求难度、深度，由于在历届高考题中集合题型比较简单，建议利用3－4课时重点解决以下问题：
1. 集合的概念与表示法：了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；理解集合的三种表示方法，特别要关注图示法的作用，体会代表元的意义与作用。能通过集合与集合的包含关系求待定元的值，子集个数，特别是注意空集的情况。
2. 集合与集合的运算：能解决用列举法和不等式关系给定的集合的交、并、补运算。掌握利用图示法解决集合运算问题，并且理解并集的三类含义。能通过集合的运算求参数的取值范围。
II.常用逻辑联结词部分.
【考纲要求】
（1）命题及其关系
① 了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题.
② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系.
（2）简单的逻辑联结词：了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
（3）全称量词与存在量词
① 理解全称量词与存在量词的意义.
② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【新增内容】全称量词与存在量词:新增内容要求比较低，只局限于判断全称命题与特称命题及其真假；能写出含有一个量词的全称或特称命题进行否定。
【07年考纲与06年考纲的比较】
| 07考纲（新） | 06考纲（旧） |
| 了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题. | 理解四种命题及其相互关系. |
| 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系. | 掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义. |
| 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. | 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. |
| 全称量词与存在量词 |
【课时建议】2课时
【备考重点、难点】
1. 通过对命题四种形式的关系分析，体会反证法的证题思想和依据。
2. 会用集合的思想理解充要条件的关系。
3. 能判断、证明和探求命题的充要条件。（重点）
4. 能用逻辑联结词写出两个简单命题的复合命题并根据真值表判断真假。从命题的真假性体会否命题与命题的否定的区别.
5. 理解全称命题与特称命题的构成，能判断其真假；能写出含有一个全称量词与存在量词的的命题的否定。
II函数部分
【考纲要求】
（1）函数
① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.
③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.
④ 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质.
（2）指数函数
① 了解指数函数模型的实际背景.
② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.
④ 知道指数函数是一类重要的函数模型.
（3）对数函数
① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.
③ 知道对数函数是一类重要的函数模型；
④ 了解指数函数
与对数函数
互为反函数（
）.
（4）幂函数
① 了解幂函数的概念.
② 结合函数
的图像，了解它们的变化情况.
（5）函数与方程
① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.
（6）函数模型及其应用
① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
② 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
【地位分析】函数是高中数学的重要内容，函数概念及其所反映的数学思想已经渗透到数学的各个领域：函数与代数式、函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与圆锥曲线及函数与微积分都有密切的联系。因此函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。
【课标与07年考纲比较】
| 《课程标准》 | 《考试大纲》 |
| 理解指数函数的特殊点. | 掌握指数函数图象通过的特殊点. |
| 了解对数函数的单调性与特殊点. | 理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点. |
【07年考纲与06年考纲的比较】
| 07考纲（新） | 06考纲（旧） |
| 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； | 理解函数的概念. |
| 了解简单的分段函数，并能简单应用. | |
| 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. | 掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. |
| 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点. | 掌握指数函数的概念、图像和性质. |
| 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； | |
| 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点. | 掌握对数函数的概念、图像和性质. |
| 知道指数函数是一类重要的函数模型. 知道对数函数是一类重要的函数模型； | 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. |
| 了解指数函数 | 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数. |
| 幂函数、函数与方程、函数模型及其应用 |
与对数函数
互为反函数（
）【新增内容】：函数的奇偶性、幂函数、函数的零点与方程的根、二分法求方程的近似根。
（1）函数的奇偶性由三角函数内容提升到函数部分，主要优化知识的系统性、完备性。
（2）幂函数要求层次较低，只要求能借助研究函数性质的思想方法，会探讨五个简单幂函数的性质。
（3）函数与方程是新课标新增内容课标要求的层次相对较低，但方程的根与函数的零点是“数形思想”的一个知识点，建议在这一部分适当推广到任意函数。结合图象补充一元二次不等式的解法，处理有关二次三项式大于零的恒成立问题。了解根的存在性定理，学会利用二分法求方程的近似根，体会算法思想。
【淡化内容】：映射（了解）、反函数（课本一带而过）。
【强化内容】：分段函数：课本用较大篇幅，借助大量例题分析如何建立分段函数模型，复习时应重视。
【课时建议】22课时.
【重点与难点】
1. 函数表示法及解析式求解：理解函数解析式求解的几种基本方法。
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法 .
（2）已知
求
或已知求：换元法、配凑法.
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）满足某个等式，这等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．（特别是分段函数）
2. 能把含绝对值的函数转化为分段函数。
3. 函数的定义域：理解求函数定义域的基本思想和方法，适度增加简单抽象函数定义域.
4. 函数值域：课标要求比原教材有所降低，建议不要追求深度、难度。重点解决以下几种题型的值域问题。
（1）一次函数值域：定义域为R和给定区间.
（2）二次函数值域：定义域为R和给定区间,可适当补充含参讨论求最值，例如区间定、轴不定和轴定、区间不定的最值问题。
（3）补充简单分式函数值域：例如，求函数
、
、（变量分离法）
的值域.
（4）复合函数值域：例如,求函数
,
的值域.
5. 函数的单调性
（1）能用函数单调性的定义证明函数的单调性.
（2）求复合函数的单调区间.
（3）比较大小.
（4）利用函数单调性求值域，最值，并理解最值的含义与几何意义.
（5）解不等式.
（6）利用函数的单调性解决问题.
6. 函数的奇偶性
（1）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，理解奇偶性是对函数的一种分类.
（2）求对称区间的解析式，并能利用函数的对称性进行画函数图像以及判断.
（3）利用函数的奇偶性解决问题.
（4）注意0在定义域内是，奇函数有 ；偶函数 的灵活应用。
7. 基本初等函数，加强应用以及数形结合思想.
8. 函数图象及变换： 函数图象的平移变换和对称变换。
9. 函数与方程：
（1）理解函数的零点和方程的根的关系、根的存在性定理，了解单调函数零点唯一性的判定。
（2）结合函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解，并注重这种思想方法的应用.
III.导数及其应用
【考纲要求】
（1）导数概念及其几何意义
① 了解导数概念的实际背景.
② 理解导数的几何意义.
（2）导数的运算
① 能根据导数定义，求函数
的导数.
② 能利用表1给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数.
表1：常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：
(C为常数)；
, n∈N+；
；
; 
; 
; 
; 
.
法则1 
.
法则2 
.
法则3 
.
（3）导数在研究函数中的应用
① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）.
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.
（4）生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题.
（5）定积分与微积分基本定理
① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.
② 了解微积分基本定理的含义.
【07年考纲与06年考纲的比较】
| 07考纲（新） | 06考纲（旧） |
| 理解导数的几何意义. | 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义 |
| 能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数. | 了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. |
| 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次. | 了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. |
| 定积分与微积分基本定理，推理与证明 |
【目标定位】
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
（2）熟记基本求导公式〔C，xm（m为有理数），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.
【新增内容】：定积分与微积分基本定理
微积分基本定理是高等数学的基础，在高中数学中要求较低，目标层次为了解，只要求学生能根据微积分基本定理求一些较为简单的定积分，能利用定积分的几何意义求面积.
【课时建议】 8课时.
【重点与难点】
（1） 利用求导公式、运算法则求导函数。
（2） 重视利用导数定义和几何意义解题，导函数的几何意义是过曲线上点作曲线切线的斜率，导函数的代数意义是其符号可以判断函数的单调性。
（3） 理解利用导数研究函数的单调性和极值.
（4） 导数的应用
（5） 会求简单函数的定积分.
[07年新课程地区高考试卷统计分析]
| 知识点 | 题型 | 广东 | 山东 | 宁夏海南 | |
| 含有全称命题的否定 | 选择 | √ | √ | ||
| 对数函数的定义域、集合运算 | 选择 | √ | |||
| 指数不等式、集合运算 | 选择 | √ | |||
| 函数的图象 | 选择 | √ | |||
| 幂函数、函数奇偶性 | 选择 | √ | |||
| 充要条件 | 选择 | √ | |||
| 过曲线上点的切线所围成的面积 | 选择 | √ | |||
| 已知函数奇偶性求参数 | 填空 | √ | |||
| 对数函数图象的定点、基本不等式 | 填空 | √ | |||
| 二次函数的零点 | 解答 | √ | |||
| 以自然对数为背景的极值等问题 | 解答 | √ | √ | ||
| 以二次函数、二次方程的根、导数为背景的数列问题 | 解答 | √ | |||
| 集合、运算信息题 | 选择 | √ | |||
1. 广东卷体现知识的本质，知识的形成过程，平稳过度，在选择填空题中函数部分没有出现新课标新增内容，而在解答题中才考核了零点问题，还有新课程的重点内容之一二次函数。同时，在选择题中还考查了学生信息阅读能力，符号运算等能力，这也是广东卷的一个亮点。
2. 山东卷和海南卷，在选择填空题对于新课标新增内容以中等难度的题目出现，体现了新课程的理念。
[典型例题]
例1：求函数
的单调区间。
解：略.
分析：这是一类双曲线型的特殊函数，有对称中心，对称轴，渐近线。可对以上的例题进行推广变形。
（1）求函数的单调区间.
（2）求函数
的单调区间.
（3）求函数
的单调区间.
（4）求函数
的单调区间.
（5）证明
在
上是增函数.
例2：对于函数
（1）讨论的奇偶性；（2）讨论的单调性；（3）求此函数的值域.
解：略.
例3：已知函数的定义域是，当
时，
，且
（1）求
；
（2）证明：在定义域上是增函数.
解：略。
分析：利用抽象函数的任意性，取特殊值进行求解。判断抽象函数的单调性，要注意掌握一些变形的技巧。可以进行推广。
1. 已知函数的定义域是
，当
时，
，且
（1）求
； （2）证明：在定义域上是增函数.
2. 已知函数对于
，都有
（1）求证：是奇函数；
（2）若
，用
表示
.
例4：（07全国二卷）已知函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）设
，如果过点
可作曲线的三条切线，证明：
解：（1）的导数
．曲线在点处的切线方程为：
，即
．
（2）如果有一条切线过点，则存在
，使
．
若过点可作曲线的三条切线，则方程
有三个相异的实数根．记
，则
．
当变化时，
变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
| 增函数 | 极大值 | 减函数 | 极小值 | 增函数 |
由
的单调性，当极大值
或极小值
时，方程
最多有一个实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根；
当
时，解方程得
，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
例5：（07山东理）设函数
，其中
．
（Ⅰ）当
时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数
，不等式
都成立．
解(I) 函数的定义域为
.
，
令
，则
在
上递增，在
上递减，
.当时，
，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当
时，
，
时，
时，
时，函数在上无极值点。
（3）当
时，解
得两个不同解
，
.
当
时，
，
，
此时在上有唯一的极小值点.
当
时，
在
都大于0 ，在
上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III） 当
时，
令
则
在
上恒正，
在上单调递增，当
时，恒有
.
即当时，有
，
对任意正整数，取
得
单元练习
1. 设集合
N}的真子集的个数是 （ ）
A．16 B．8； C．7 D．4
2. 已知命题
：
，则（ ）
A.
B. 
C.
D. 
3. 若二次函数
的定义域为[0，3]，则此二次函数的值域为
A. 
B.
[－3，0] C. [－3，1] D.
4. 已知
，则
( )
A.
B.
C.
D.
5. 
在区间
上的最大值是
A.-2 B.0 C.2 D.4
6. 已知为偶函数，定义域为，在
上是减函数，那么
与
的大小关系是( )
A.
B.
C．
D.
7. 设
，
是二次函数，若
的值域是
，则的值域是（ ）
A.
B.
C. D. 
8. 如图所示，fi（x）（i=1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，任意λ∈［0，1］，f［λx1+（1－λ）x2］≤λf（x1）+（1－λ）f（x2）恒成立”的只有（ ）
f1（x） f2（x） f3（x） f4（x）
A．f1（x），f3（x） B．f2（x） C．f2（x），f3（x） D．f4（x）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.
9. 某种细菌每20分钟分裂一次,经过 次分裂后,这种细菌可以由1个分裂成64个.
10. 函数
对于任意实数
满足条件
，若
则
__________.
11. 若函数
的定义域是
，则
的定义域为
； 
的定义域为
．
12. 函数
的图象恒过定点
，若点在直线
上，则
的最小值为
.
13. 曲线
和
在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是
.
14. 设函数的定义域为R，若存在常数m>0，使
对一切实数x均成立，则称为F函数．给出下列函数：
①
；②
；③
；④
；
⑤是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1、x2均有 
．其中是F函数的序号为_____________________.
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (12分)设
，求实数的取值范围。
16. (12分) ) 已知函数
在点
处取得极大值
，其导函数
的图象经过点
，
，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）
的值.
17. (14分)已知函数
（1）求证：函数是偶函数；
（2）判断函数分别在区间
、
上的单调性， 并加以证明；
（3）若
， 求证: 
．
18. (14分)已知集合
是满足下列性质函数的全体：若函数的定义域为D，对于任意的
（
），有
。
（I）当D=时，
是否属于，若属于，给予证明。否则说明理由；
（II）当D=
时，函数
时，若
，求实数a的取值范围。
19. (14分)对1个单位质量的含污物体进行清洗，
清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：
为
， 要求清洗完后的清洁度为
. 有两种方案可供选择， 方案甲:
一次清洗；
方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响， 其质量变为
. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是
， 用
单位质量的水第二次清洗后的清洁度是
， 其中
是该物体初次清洗后的清洁度．
（1）分别求出方案甲以及
时方案乙的用水量， 并比较哪一种方案用水量较少；
（2）若采用方案乙， 当为某固定值时， 如何安排初次与第二次清洗的用水量， 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响．
20. 设函数
（I）若当
时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于
．
参考答案
1.C 2. C 3.C 4.D 5.C 6.B 7.C 8.A 9. 6 10. 
11. 
；
12. 4 13. 
14. ①④⑤
15. 解：由
.
∵
，∴
.
当
，即
无实根，由
，
即
，解得
；
当
时，由根与系数的关系：
；
当
时，由根与系数的关系：
；
当
时，由根与系数的关系：
；
综上所得
.
16. 解法一： （Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上
,在(1,2)上
,在
上, 故在
,上递增,在(1,2)上递减,因此在
处取得极大值,所以
.
(Ⅱ)
由
得
解得
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设
又所以
由
,即
得
,
所以
.
17. 解：（1） 当时，
，
则
∴
当
时， 
，
则
，
∴
综上所述， 对于
， 都有，∴ 函数是偶函数。
（2）当
时， 
设
， 则
．
当
时， 
；
当
时， 
，
∴ 函数在
上是减函数， 函数在
上是增函数。
（3）由（2）知， 当
时， 
，
又由（1）知， 函数是偶函数， ∴ 当
时， 
，
∴若
， 
， 则 
， 
，
∴
， 即.
18．解：（1）因为
，所以
时，
，
即
. 当
时，
；
（2）由
，
当
时，
，因为
，
所以，即
；
所以
即为所求.
评析：本题应用常规解法，解答较为繁琐；若用导数的几何意义，则十分简单。
19. 解：（1）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有
=0.99，解得x=19.
由
得方案乙初次用水量为3， 第二次用水量y满足方程:
解得y=4，故z=4
+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3.
因为当
，故方案乙的用水量较少.
（2）设初次与第二次清洗的用水量分别为
与
，类似（I）得
，
（*）
于是
+
当为定值时，
，
当且仅当
时等号成立.此时
将
代入（*）式得
故时总用水量最少， 此时第一次与第二次用水量分别为
， 最少总用水量是
.
当
，故T（）是增函数（也可以用二次函数的单
调性判断）.这说明，随着的值的最少总用水量， 最少总用水量最少总用水量.
20. 解：（Ⅰ）
，依题意有
，故
．
从而
．
的定义域为
，当
时，；
当
时，；当
时，．
从而，分别在区间
单调增加，在区间
单调减少．
（Ⅱ）的定义域为
，
．
方程
的判别式
．
（ⅰ）若
，即
，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若
，则
或
．
若
，
，
．
当
时，
，当
时，
，所以无极值．
若，
，
，也无极值．
（ⅲ）若
，即
或
，则有两个不同的实根
，
．
当时，
，从而
有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，
，
，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在
取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为
．
的极值之和为
．