高考数学二轮复习三角证明与计算的综合考查
【考点聚焦】
考点1：同角的三角函数关系式；
考点2：诱导公式；
考点3：和、差、倍角公式
考点4：正弦定理、余弦定理、面积公式。
【考题形式】与倍角公式有关的计算与证明。
【考点小测】
1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=
=－
．
2．已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30º)的值为 －1
3.如果
＝
，且
是第四象限的角，那么
＝
解：已知
；
4.已知
∈(
,
)，sin=
,则tan(
)=
解：由
则
，
=
，。
5
已知sinα=
，α∈(
，π)，tan(π－β)= 
，则tan(α－2β)=_____
_
6 设α∈(
)，β∈(0，
)，cos(α－)=，sin(
+β)=
，则sin(α+β)=______ 
7. 已知
=2，则
=
；；
=
。
解：（I）∵ tan
=2, ∴ 
;
所以
=
；
（II）由(I), tanα=－
, 所以
=
=
.
8.（江苏卷）
＝
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
解：
【典型考例】
【问题1】“拆项”与“添项”巧凑“和角、差角”公式
★例1★（1）
=
；（2）
=
★例2★已知：
，求：
的值. 
点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.
【问题2】弦切互化
★ 例3★ P44例1 ★例4★ P44例2
P46T5（安徽卷）已知
（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）求
的值。
解：(Ⅰ)由，得
，所以
＝
。
（Ⅱ）∵
，∴
。
【问题3】
与
对偶互化
★例5★已知
. （I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求
的值.
思路分析：将sinx-cosx=平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号.
解法一：（Ⅰ）由
即 
又
故 
（Ⅱ）
|
由①得
将其代入②，整理得
故
（Ⅱ）
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
★例6★：已知
.
解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
， 即
①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故
②
由①式和②式得 
.因此，
，由两角和的正切公式
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
解得
由
由于
，故
在第二象限，于是
.
从而
，以下同解法一.
【问题4】向量与三角小综合
★例7★已知向量
，
求
的值.
解法一：
由已知
，得
又
所以
解法二：
由已知，得
★例7★．已知
是三角形
三内角，向量
，且
.（Ⅰ）求角
；（Ⅱ）若
，求
.
解：（Ⅰ）∵ ∴
即
,
∵
∴
∴
（Ⅱ）由题知
，整理得
∴
∴
∴
或
而使
，舍去 ∴
∴
★例9★．已知向量
，
(1)
求
的值；(2)若
的值。
解：(1)因为
所以
又因为
，所以
，
即
；
(2) 
，又因为
，所以 
，
，所以
，所以
★例10★．平面直角坐标系有点
求向量
和
的夹角
的余弦用
表示的函数
；求的最值.
解：（1）
，
即
（2）
， 又 
，
， 
， 
.
【问题6】函数与三角小综合
★例11★已知函数
其中
为参数，且
（I）当
时，判断函数是否有极值；（II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间
内都是增函数，求实数
的取值范围。
解：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。
（I）解：当时
则在
内是增函数，故无极值。
（II）解：
令
得
由
及（I），只需考虑
的情况。
当变化时，
的符号及的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
因此，函数在
处取得极小值
且 
要使
必有
可得
所以
（III）解：由（II）知，函数在区间
与
内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
或
由（II），参数
时，
要使不等式
关于参数恒成立，必有
综上，解得
或
所以的取值范围是
课后训练
一、选择题：
1．设函数
图象的一条对称轴方程为
, 则直线
的倾斜角为
A. 
B. 
C. 
D.
2．已知
，那么
A. B. 
C. 
D. 
3．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f(
)= f(
)，则f(x)的解析式可以是 A．f(x)=cosx B．f(x)=cos(2x
) C．f(x)=sin(4x) D．f(x) =cos6x
4．把函数
的图象沿向量
的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A．
B．
C．
D．
5．在
内，使
成立的的取值范围是
（A）(
) （B）(
) （C）（
） （D）(
)
6．函数y=cosx（sinx+cosx）的最小正周期为
A 
B
C D 
7．如果
，且
，那么
A. 
B. 
C. 
D. 
8．已知sin(
－x)＝
，则sin2x的值为（ ）A. 
B. 
C. 
D. 
9．函数f(x)＝sin(x＋θ)＋
cos(x＋θ)的图像关于点（5，0）对称，则θ的值是（ ）
A.－
－10 B.－
－5
C.2kπ－－10
D. kπ－－5 （k∈Z）
10．已知向量
，
（O为原点，
），则向量
的长度的最大值是（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
11．曲线
和直线
在
轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则
等于 A． B．2 C．3 D．4
12．已知中，
分别为角所对的边，且
，
，
，则的面积为（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：
13．
的三内角所对边的长分别为设向量
,
,若
,则角
=
14．对于函数＝
（
）， 则它的值域为
;
15．已知sinα＝
，cos(α＋β)＝－，α、β∈（0，
），则sin2β的值为 。
16．定义运算
为：
例如，
,则函数
的值域为 ．
三、解答题：
1．已知
，求（1）
；（2）
的值.
解：（1）
；
(2) 
.
2．(上海卷)已知是第一象限的角，且
，求
的值。
解：
=
由已知可得sin
, ∴原式=
.
3．已知点A(2，0)，B(0，2)，C(cos
，sin)，且0<<
。
(1)若
，求
与
的夹角；(2)若
，求tan的值。
解：∵(1)，
∴
又
，∴
又
，∴与的夹角为
.
(5分)
(2) 
，
∵，∴
∴
∴
∴
∵
∴
又由
及
得
由①②
，
∴
。
4．已知A (3，0)，B (0，3)，C
①若
=－1,求
的值；
②若
,且∈(0,),求
与
的夹角.
解答:(1)
=(
－3,
),
=(,－3),∴由·=－1,
得(－3)+(－3)=－1,∴+=
,两边平方,得1+=
,∴=－
(2)
=(3+,),∴(3+)2+
=13, ∴=
,∵∈(0,π),
∴=
=
, ∴
,
设
与
的夹角为
,则
=
,∴ =
即为所求.
5．已知向量
，
．（Ⅰ）当
，且
时，求的值； （Ⅱ）当
，且
∥
时，求
的值．
解：（Ⅰ）当时，
，
， 
由
， 得
，
上式两边平方得
，因此，
．
（Ⅱ）当时，
，由∥得
．
即
． 
，
或 ．
6.（安徽卷）已知
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
解：(Ⅰ)由
得
，即
，
又
，所以
为所求。
（Ⅱ）
=
=
=
=
。
7．（北京卷）已知函数
， （Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且
，求
的值.
解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，即的定义域为｛xxÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝
（2）
＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa
由是第四象限的角，且可得sina＝－
，cosa＝\＝－2sina＋2cosa＝
8. （天津卷）已知
，
．求
和
的值．
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。
解法一：由
得
则
因为
所以
解法二：由得 
解得
或
由已知故舍去
得 
因此，
那么 
且
故