高2007届第二轮复习质量检测试题（2007.4.17）
数 学（理科） 
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50）各题答案必需答在答题卡上。
1．已知集合
，
，若
，则
等于（ ）
A. 1 B. 2 C.
1或
D. 1或2
2．已知等差数列
前17项和
，则
（ ）
A. 3 B. 6 C. 17 D. 51
3．设随机变量
服从正态分布
，若
，则
（ ）
A. 
B.
C.
D.
4．把函数
的图象按向量
平移，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
，则所得图象的函数解析式是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5．二项式
的展开式中，常数项为（ ）
A. 30 B. 48 C. 60 D. 120
6．设
、是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A. 若
，
，则
B. 若
，
，则
C. 若
，
，则
D. 若，，
，则
7．口袋中放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，
，如果
为数列的前
项和，那么
的概率为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8．若第一象限内的点
落在经过点
且具有方向向量
的直线上，则
有（ ）
A.
最大值
B.
最大值1 C.
最小值
D. 最小值1
9．已知点
、
为双曲线
(a>0，b>0)
的左、右焦点，P为右支上一点，点P到右准线的距离为d,若P、P、d依次成等差数列，则此双曲线离心率取值范围是（ ）
A. 
B. (1，
］ C. ［2+，+
) D. ［2-,2+］
10．已知函数
的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线与曲线C交于不同于P的两点
，且恒有
为定值
，则的值为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 把答案填写在答题卡相应位置上.
11．
=
____
12．已知实数
满足
，则
的最大值是
_____
13．已知定义在R上的函数
则
的值等于___________
14．表面积为4
的球O与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A、B两点，三角形OAB的面积
，则球心到二面角的棱的距离为
______ _
15．已知椭圆C：
，
为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且
，则椭圆的离心率为
_______
16．设
是定义域为R的奇函数，
是定义域为R的恒大于零的函数，且当
时有
.若
，则不等式
的解集是___________
三、解答题：（本大题共6小题，共76分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（13分）设
、
、
分别是△ABC三个内角
A、B、C的对边，若向量
，
且
，
（1）求
的值；
（2）求
的最大值.
18．（13分）甲乙两人进行一场乒乓球比赛，根据以往经验单局比赛甲胜乙的概率为
，本场比赛采用五局三胜制。既先胜三局的人获胜，比赛结束。设每局比赛相互间没有影响，令为本场比赛甲胜乙的局数（不计甲负乙的局数）。
（1）求
；
（2）求的概率分布和数学期望。（精确到
）
19．（13分）如图，在各棱长均为2的三棱柱
中，侧面
⊥底面
，
(1) 求侧棱
与平面
所成角的大小；
(2) 已知点D满足
，在直线AA
上是否存在点P，使
∥平面？
若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
20．（13分）四棱锥
的所有棱长均为1米，一只小虫从
点出发沿四棱锥爬行，若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的。设小虫爬行米后恰回到点的概率为
。
（1）求
的值；
（2）求证：
；
（3） 求证：
21．（12分）已知抛物线
，过点
作动弦
，过
两点分别作抛物线的切线，两切线交于点
（1）证明：点的轨迹为直线
，并求出的方程；
（2）过点
作直线的垂线，垂足为
，证明：
22．（12分）设
是函数
的一个极值点（
，e为自然对数的底）.
（1）求
与
的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）若在闭区间
上的最小值为0,最大值为
，且
。试求m与 的值.
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | A | D | B | C | D | B | B | A | B |
二、填空题：
11. 
12．5 13．
14． 
15． 
16． 
17．解：(1) 由
，得
即 
亦即 
所以 
(2) 因
而
所以，
有最小值
当
时，取得最小值。又
，则
有最大值
故的最大值为
18. 解：（Ⅰ）
即表示本场比赛共三局，甲连负三局
（Ⅱ）甲胜乙的局数作为随机变量，其取值有
四个值
时，本场比赛共四局，第一，二、三局中甲胜一局，甲负第四局
时，本场比赛或三局，和四局，或五局，甲胜
的概率分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
（注：
来计算）
19. 解：∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
∴A1O⊥平面ABC.
又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
∴AO=1，OA1=OB=，BO⊥AC.
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
A(0，-1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，
∴
.
设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)
则
解得n=(-1,0,1).
由cos<
>=
而侧棱AA1与平面AB1C所成角，即是向量
与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的大小为arcsin
(Ⅱ)
∵
而
∴
又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(-，0，0).
假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，y，z).
∴
∵DP∥平面AB1C，n=(-1，0，1)为平面AB1C的法向量，
∴由
，得
又DP
平面AB1C，
故存在点P，使DP∥平面AB1C，其从标为(0，0，)，即恰好为A1点.
20．解：（I）P2表示从S点到A（或B、C、D），然后再回到S点的概率
所以
；
因为从S点沿SA棱经过B或D，然后再回到S点的概率为
，
所以
（II）设小虫爬行n米后恰回到S点的概率为Pn，那么
表示爬行n米后恰好没回到S点的概率，则此时小虫必在A（或B、C、D）点
所以
（III）由
从而
所以
21．解（1）设A，B两点的坐标为
则有
于是
,由点斜式求得两切线方程：
解得P的坐标为
由A,M,B三点共线得：
，
即：
，由
故有
，故P的轨迹方程为
（2）过点M所作垂线
的方程为
，即
从而交点
MN的斜率为
，若AN,BN的斜率存在，则设为
。要证，只需证
,而
设直线AB的斜率为
则由: 
所以
,代入上式有:
当
当
解得A,B两点的坐标分别为
,知直线AN与BN的斜率一个为零，另一个不存在，也有。综上所述，命题得证。
22．解：⑴
由已知有：
∴a+(ab+a)+ab+b-1=0，∴
从而
令=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝
． ∵ ∴ｘ2
当ｘ变化时，、f（ｘ）的变化情况如下表：
| ｘ |
|
|
|
|
|
| － | ＋ | ＋ | － |
|
| 减函数 | 增函数 | 增函数 | 减函数 |
从上表可知：在
,
上是减函数;
在
，
上是增函数.
⑵ ∵m>－1，由（I）知：
① 当－1<m
0时, m+11,在闭区间上是增函数.
∴
且
.
化简得:
.
又
<1.故此时的a,m不存在.
② 当m
1时, 在闭区间上是减函数.
又
时
=
.其最小值不可能为0
∴此时的a,m也不存在
⑴ 当0<m<1时,
. 则最大值为
得:b=0,
又
的最小值为∴
综上知: 
.