十、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
Ⅰ、再现性题组：
1. 方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
2. 如果函数f(x)＝x
＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____。
A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)
3. 已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
4. 已知sinθ＋cosθ＝
，θ∈(
，π)，则tgθ的值是_____。
A. －
B. －
C. D.
5. 已知等差数列的前n项和为S
，且S
＝S
(p≠q，p、q∈N)，则S
＝_________。
6.关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________。
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________。
8. 建造一个容积为8m
，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设a>0，a≠1，试求方程log
(x－ak)＝log
(x－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)
【解】 将原方程化为：log(x－ak)＝log
， 等价于 
（a>0,a≠1）
∴ k＝
－
( >1 ）,
设＝cscθ， θ∈(－,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－ctgθ
当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg
<－1，故k<－1；
当θ∈(0,)时，f(θ)＝…
综上，k的取值范围是…
【注】 引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。（分离参数法、三角换元法、等价转化思想）
【另解】 （数形结合法）：
【再解】 （方程讨论法）：
例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足m≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。
【解】 设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则 
解得x∈（
,
）
【注】 本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。
例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S，已知a
＝12，S
>0，S
<0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S
、S
、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)
【分析】 ①问用a、S易求；②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值。
【解】
【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。
【另解②问】（寻求a>0、a
<0 ）：
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
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P【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθx＋4rsinθ
＝(sinθ＋1)[x－
]＋
即当x＝时，MD取最小值
为两异面直线的距离。
【注】 求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。（见再现性题组第8题）
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2＋
，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1＋)
设tgA、tgC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的两根，解得x＝1，x＝2＋
设A<C，则tgA＝1，tgC＝2＋， ∴A＝
，C＝
…
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
【分析】 题设正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。
【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列；
当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝
＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列
【注】 题设条件具备或经变形整理后具备x＋x＝a、x·x＝b的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。
例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤
。
【证明】 设k＝cosA·cosB·cosC＝
[cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝[－cosC＋cos(A－B)]cosC
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤
【注】既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝… ＝
－cosC＋cos(A－B)·cosC＝－[cosC－
]＋cos(A－B)≤cos(A－B) ≤
例8. 设f(x)＝lg
，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。
【解】 由题可知，不等式1＋2
＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()
＋()＋a>0
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－
∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－
【注】 二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法：
Ⅲ、巩固性题组：
1. 方程sin2x＝sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知函数f(x)＝2－1，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则_____。
A.
a<0,b<0,c>0 B.
a<0,b>0,c>0 C.
2
<2
D. 2
＋2<2
3. 已知函数f(x)＝log(x－4x＋8)， x∈[0,2]的最大值为－2，则a＝_____。
A. B. 
C. 2 D. 4
4.已知{a}是等比数列，且a＋a＋a＝18，a＋a＋a
＝－9，S＝a＋a＋…＋a，那么
S等于_____。
A. 8 B. 16 C. 32 D. 48
5.等差数列{a}中，a＝84，前n项和为S,已知S
>0，S
<0，则当n＝______时，S最大。
6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范围是________。
7.若关于x的方程x－6x＋8＝a恰有两个不等实根，则实数a的取值范围是____________。
8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y＝x＋mx＋2，若抛物线与线段AB相交于两点，求实数m的取值范围。
9.已知实数x、y、z满足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,试求z的取值范围。
10.已知lg
－4·lg
·lg
＝0，求证：b是a、c的等比中项。
11.设α、β、γ均为锐角，且cosα＋cosβ＋cosγ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求证：α＋β＋γ＝π 。
12.当p为何值时，曲线y＝2px (p>0)与椭圆(x―2―
)＋y＝1有四个交点。(88年全国高考)
13.已知关于x的实系数二次方程x＋ax＋b＝0有两个实数根α、β。证明：
①.如果α<2，β<2，那么2a<4＋b且b<4；
②.如果2a<4＋b且b<4，那么α<2，β<2 。 （93年全国理）
14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I
表示区间(2k-1,2k+1]，已知当x∈I
时，f(x)＝x。 ①.求f(x)在I上的解析表达式； ②.对自然数k，求集合M＝{a使方程f(x)＝ax在I上有两个不相等的实根}。 （89年全国理）