九、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
分类原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体 → 确定分类标准，正确进行分类 → 逐步进行讨论，获取阶段性结果 → 归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1. 集合A＝{xx≤4,x∈R}，B＝{xx－3≤a，x∈R}，若A
B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0<a<1
2. 若a>0且a≠1，p＝log
(a
＋a＋1)，q＝log(a
＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. p<q C. p>q D.当a>1时，p>q；当0<a<1时，p<q
3. 函数y＝
＋
＋
＋
的值域是_________。
4. 若θ∈(0, 
)，则
的值为_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5. 函数y＝x＋
的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. 
B. 
C. 
D. 或
7. 过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设0<x<1，a>0且a≠1，比较log(1－x)与log(1＋x)的大小。
【分析】 对数函数的性质与底数a有关，而分两类讨论。
【解】 ∵ 0<x<1 ∴ 0<1－x<1 , 1＋x>1
① 当0<a<1时，log(1－x)－log(1＋x)＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)>0;
② 当a>1时，log(1－x)－log(1＋x)＝…
由①、②可知，…
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. C
A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ
。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C
·C
＋C
·C
＋C
·C
＝1084
【另解】（排除法）：
【注】本题是“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是正确分类，达到分类完整及每类互斥的要求。并且要确定C中元素如何取法。
例3. 设{a
}是由正数组成的等比数列，S是前n项和。 ①. 证明： 
<lgS
； ②.是否存在常数c>0，使得
＝lg（S－c）成立？并证明结论。(95年全国理)
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。
【解】
设公比q，则a
>0，q>0
①． …
②. 要使＝lg（S－c）成立，则必有(S－c)(S
－c)＝(S－c),
分两种情况讨论如下：
当q＝1时，S＝na，则
(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n＋2)a－c]－[(n＋1)a－c]＝－a<0
当q≠1时，S＝
，则(S－c)(S－c)－(S－c)＝[
－c][ 
－c]－[
－c]＝－aq
[a－c(1－q)]
∵ aq≠0 ∴ a－c(1－q)＝0即c＝
而S－c＝S－＝－
<0 ∴对数式无意义
由上综述，不存在常数c>0, 使得＝lg（S－c）成立。
【注】
本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明
>log
S 。
例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类。（概念、性质型）
例4. 设函数f(x)＝ax－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数a的取值范围。
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【分析】 含参的一元二次函数在有界区间上的值域问题，先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置进行分类讨论。（也属数形结合法）
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－
）＋2－
∴
或
或
∴ a≥1或
<a<1或φ 即 a>；
当a<0时，
，解得φ；
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
由上而得，实数a的取值范围是a> 。
例5. 解不等式
>0 (a为常数，a≠－)
【分析】
含参不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。
【解】 2a＋1>0时，a〉－； －4a<6a时，a>0 。 所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:
x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。
综上所述，……
【注】 含参问题，结合参数的意义及对结果的影响而分类讨论。（含参型）
例6. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z＋2z＝a 。 (90年全国高考)
【解】
∵ z∈R，由z＋2z＝a得：z∈R； ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时，z＋2z＝a,解得：z＝－1＋
∴ z＝±(－1＋)；
当z为纯虚数时，设z＝±yｉ (y>0)， ∴ －y＋2y＝a 解得：y＝1±
（0≤a≤1）
由上可得，z＝±(－1＋)或±(1±)ｉ
【注】本题用标准解法（设z＝x＋yｉ再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。 （简化型）
【另解】
设z＝x＋yｉ，代入得 x－y＋2
＋2xyｉ＝a；
∴ 
当y＝0时，…
例7. 在xoy平面上给定曲线y＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a)，求f(a)的函数表达式。 （本题难度0.40）
【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论。
【解】
设M(x,y)为曲线y＝2x上任意一点，则
MA＝(x－a)＋y＝(x－a)＋2x＝x－2(a－1)x＋a＝[x－(a－1)]＋(2a－1)
由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：
当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即MA}
＝2a－1；
当a－1<0时，x＝0取最小值，即MA}＝a；
综上所述，有f(a)＝
。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 若log
<1，则a的取值范围是_____。
A.
(0, )
B. (,1)
C. (0, )∪(1,+∞) D. (,+∞)
2. 非零实数a、b、c，则
＋
＋
＋
的值组成的集合是_____。
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)＝(a－x)3a－x，a是正常数，下列结论正确的是_____。
A.当x＝2a时有最小值0 B.当x＝3a时有最大值0
C.无最大值，且无最小值 D.有最小值但无最大值
4.
设f(x,y)＝0是椭圆方程，f
(x,y)＝0是直线方程，则方程f(x,y)＋λf(x,y)＝0 （λ∈R）表示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5.
函数f(x)＝ax－2ax＋2＋b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a、b的值为_____。
A. a＝1,b＝0 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3
C. a＝－1，b＝3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x－x－1)
＝1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8. z∈C，方程z－3z＋2＝0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 复数z＝a＋aｉ (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式： 2log
(2x－1)>log(x－a) (a>0且a≠1)
11.设首项为1，公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S，又设T＝
，求T 。
12.
若复数z、z、z在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形，且z＝2，求z 。
13. 有卡片9张，将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位数，若6可以当作9用，问可组成多少个不同的三位数。
14.
函数f(x)＝(m－1)x－2(m＋1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。