五、数学归纳法
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n
)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组：
1.
用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2
·1·2…(2n－1)
（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。
A. 2k＋1
B. 2(2k＋1)
C. 
D. 
2.
用数学归纳法证明1＋
＋
＋…＋
<n (n>1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2
B. 2
－1
C. 2
D. 2＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (94年上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4.
数列{a}中，已知a
＝1，当n≥2时a
＝a
＋2n－1，依次计算a
、a
、a
后，猜想a的表达式是_____。
A. 3n－2
B. n
C. 3
D. 4n－3
5.
用数学归纳法证明3
＋5
(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3
＋5
应变形为_______________________。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知数列
，得，…，
，…。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
【解】
计算得S＝
，S＝
，S＝
，S＝
， 猜测S＝
(n∈N)
当n＝1时，…
【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和：
例2. 设a＝
＋
＋…＋
(n∈N),证明：n(n＋1)<a<(n＋1) 。
【解】
当n＝1时，a＝
，n(n+1)＝，(n+1)＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)<a
<(k＋1) ，
当n＝k＋1时，k(k＋1)＋
<a
<(k＋1)＋
…
【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
【另解】
也可采用放缩法直接证明。（抓住对的分析，注意与目标比较）
例3. 设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝
，证明{a}是等差数列。 （94年全国文）
【分析】
要证等差数列，即证：a＝a＋(n－1)d
【解】
设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d
当n＝1时，a＝a， ∴ 当n＝1时猜测正确。
假设当n＝k时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a＝S－S＝
－
， 解得a＝…
…
【注】
注意问题转化成数学式及a的得出。
【另解】
可证a
－a＝ a－ a而得：
Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6
＋1 (n∈N)能被7整除。
2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos
·cos
·cos
·…·cos
＝
(81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： sinnx≤nsinx （n∈N）。 （85年广东高考）
6.
数列{a}的通项公式a＝
(n∈N)，设f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，试求f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a和a； ②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。
8. 设f(log
x)＝
, ①.求f(x)的定义域； ②.在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n
(n>1且n∈N)