高中数学解题思想方法
我们遇到一个新问题时，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
① 常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等；
② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
一、 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且需要“凑（拆）”而“配”。
Ⅰ、再现性题组：
1.
在正项等比数列{a
}中，a
sa
+2a
sa+aža
=25，则 a＋a＝_______。
2.
方程x
＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 
<k<1 B. k<或k>1 C. k∈R
D. k＝或k＝1
3.
已知sin
α＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4.
函数y＝log
(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 
]
B. [,+∞) C. (－
,] D. [,3)
5.
已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x
，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2
B. 
C.
5
D. 6
【分析】
先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则
,而欲求对角线长
，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】＝…
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两根为p、q，若(
)+(
)≤7成立，求k的取值范围。
【解】 由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
()+()＝
＝
＝
＝
≤7， 解得k≤－
或k≥ 。
又
∵p、q为方程两实根， ∴ Δ＝k－8≥0
∴k的取值范围是：－≤k≤－
或者 ≤k≤
【注】 实系数一元二次方程问题，注意Δ，恰当运用韦达定理；由已知的不等式联想到配方，表示成p＋q与pq的组合式。
例3. 设非零复数a、b满足a
＋ab＋b=0，求(
)
＋(
) 。
【分析】
对已知式可以联想：变形为(
)＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】
【注】 配方，简化表达式；巧用1的立方虚根，计算高次幂；活用ω的性质。
【另解】
解出＝…后，用三角形式完成后面的运算：
Ⅲ、巩固性题组：
1. 函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8 B. 
C. 
D.最小值不存在
2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. －
B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R
，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2
＋8
有_____。
A.最大值2
B.最大值
C.最小值2 B.最小值
4. 椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化简：2
＋
的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6.
设F
和F为双曲线
－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是_________。
7.
若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋
的最小值为___________。
8.
已知
〈β<α〈
π，cos(α-β)＝
，sin(α+β)＝－
，求sin2α的值。(92年高考题)
9.
设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m<n）,且满足A[(m+n)+ mn]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B＋C＝0 。
① 解不等式f(x)>0；
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。
10.
设s>1，t>1，m∈R，x＝log
t＋log
s，y＝log
t＋logs＋m(logt＋logs),
① 将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
② 若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。