高考数学复习—不等式练习试题
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题(10×5′=50′)
1.已知方程2x+x=0的实根为a,log2x=2-x的实根为b,log
x=x的实根为c,则 ( )
A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
2.若a>0,a2-2ab+c2=0,bc>a2,则 ( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c
3.在满足面积与周长的数值相等的所有直角三角形中，面积的最小值是 ( )
A.(
-1)2
B.2(+1)2 C.3(-1)2 D.4(+1)2
4.设a、b∈R,那么“a2+b2<1”是“ab+1>a+b”的 ( )
A.充要条件 B.必要非充分条件
C.充分非必要条件 D.既非充分也非必要条件
5.两个集合A与B之差记作 “A/B”，定义为：A/B={xx∈A,且x
B}, 如果集合A={xlog2x<1,x∈R},集合B={xx-2<1,x∈R},那么A/B等于 ( )
A.{xx≤1} B.{xx≥3} C.{x1≤x<2} D.{x0<x≤1}
6.已知log
x1=logax2=log(a+1)x3>0,0<a<1,则x1、x2、x3的大小关系是 ( )
A.x3<x2<x1 B.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 D.x2<x3<x1
7.设a、b、c是一个长方体的长、宽、高，且a+b-c=1,已知该长方体对角线长为1,且b>a,则高c的取值范围是 ( )
A.
B.
C.(0,1) D.
8.某债券市场常年发行债券，A种债券面值为1 000元，一年到期本息和为1 040元；B种债券面值为1 000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1 000元；C种面值为1 000元，半年到期本息和为1 020元.设这三种债券的年收益率分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是 ( )
A.a=c且a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b
9.设an=
+
+…+
，则对任意正整数m、n（m>n）都成立的不等式是 ( )
A.am-an<
B.am-an>
C.am-an<
D.am-an>
10.若关于x的不等式x2-ax-6a<0有解且解区间长不超过5个单位长，则a的取值范围是 ( )
A.-25≤a≤1 B.-25≤a<0或1≤a<24
C.a≤-25或a≥1 D.-25≤a<-24或0<a≤1
二、填空题（4×4′=16′）
11.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是 .
12.对于｜m｜≤1的一切实数m,使不等式2x-1＞m(x2-1)都成立的实数x的取值范围是 .
13.已知关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解集为(-3,+∞),则log6ba2= .
14.不等式(x-2)
≥0的解集是
.
三、解答题（4×10′+14′=54′）
15.已知ai∈R+,
=S,求证:
.
16.甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的二次方成正比，且比例系数为b，固定部分为a元.
（1）把全部运输成本y（元）表示为速度v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
17.不等式(-2)xa-3x-1-(-2)x<0对于任意正整数x恒成立,求实数a的取值范围.
18.设f (x)=x2+bx+c(b、c为常数)，方程f (x)-x=0的两个实根为x1、x2,且满足x1>0,x2-x1>1.
(1)求证:b2>2(b+2c);
(2)设0<t<x1,试比较f (t)与x1的大小;
(3)若当x∈［-1,1］时，对任意的x都有f (x)≤1，求证：1+b≤2.
19.已知函数f (x)对任意的实数x、y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+2y(x+y)+1,且f (1)=1.
(1)若x∈N*,试求f (x)的表达式；
(2)若x∈N*且x≥2时，不等式f (x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求实数a的取值范围.
不等式练习参考答案
一、选择题
1.A 由已知得a<0,b∈(1,2),c∈(0,1)，故b>c>a.
2.B 由bc>a2知b,c同号.
∵a2+c2=2ab,a2+b2≥2ab,∴b2≥c2.
∵a>0,∴b>0.∴c>0.∴b≥c.
若b=c,可推出a=b=c,这与bc>a2矛盾.
∴b>c.∴b2>bc>a2.∴a<b.∴a(a-b)<0.
∵a2-2ab+c2=0,∴a2-2ab+bc>0,a2-ab>ab-bc. ∴b(a-c)<a(a-b)<0.∴a-c<0.
∴a<c.∴b>c>a.
3.D 设两条直角边的长为a、b，则
ab=a+b+
.
∴ab≥2
+
，整理，得ab≥4(+1)2.
即面积的最小值为4(+1)2.
4.C ab+1>a+b
(a-1)(b-1)>0
或
a2+b2<1a<1且b<1-1<a<1,-1<b<1(a-1)(b-1)>0ab+1>a+b.
易知ab+1>a+b
a2+b2<1.
即a2+b2<1是ab+1>a+b的充分非必要条件.
5.D 本题是一道信息题，考查考生阅读理解能力和自学能力.解题的关键在于理解“A/B”，联立不等式，得
解得0<x≤1,故选D.
6.D 取a=满足条件，则log4x1=logx2=log
x3>0.画出图象后知选D.
7.D 依题意有a2+b2+c2=1,即a2+b2=1-c2,a+b=1+c,
∴ab=
,易知a、b是关于x的方程x2-(1+c)x+c2+c=0的两个不相等的正根，
∴依判别式Δ=(1+c)2-4(c2+c)>0,可解得0<c<
,故选D.
8.C 分别对三种债券的年收益率进行计算:
对A:a=
对B:b=
对C:前半年的增长率为
,且依题意，
在后半年增长的钱数为1 020×
∴c=
显然大小关系为:a<c<b.
9.C ∵am-an=
<
,故选C.
10.D 由题设得
(*)其中x1、x2是方程x2-ax-6a=0的两根，解(*)式得
-25≤a<-24或0<a≤1,故选D.
二、填空题
11.(-1,0) 分析 用代数方法很难解决此类超越不等式问题，
|
解 在同一坐标系中作出y=log2(-x)及y=x+1的图象，由
图象知,-1<x<0时，log2(-x)<x+1,故x的取值范围是(-1,0).
12.(
-1,2) 将题目中的x与m互换,即问题可化为求使不
等式2m-1＞x(m2-1),即(1-m2)x+(2m-1)＞0,在［-１,１］上恒成立
的实数m的取值范围.令f (x)=(1-m2)x+(2m-1),则有
或
即m=1或
或m＞-1,0＜m＜2.
所以-1＜m＜2.故原题中实数x的取值范围是(-1,2).
13.2 由已知，得(a+b)x<3b-2a.
若a+b>0，不等式的解集为
;
若a+b<0,不等式的解集为
.
由已知不等式的解集为（-3,+∞）得a+b<0，
且
.解得a=-6b<0.
∴log6ba2=log6b(-6b)2=2.
14.{xx=-1或x≥3} 由于(x-2)≥0,
当x2-2x-3=0时，x1=-1,x2=3，适合不等式.
当x2-2x-3>0时，x-2≥0，此时x>3,
故原不等式的解集为{xx=-1或x≥3}.
三、解答题
15.证明 构造a=
,b=(
,
,…,
).
因为a·b=a1+a2+…+an=S,
｜a｜=
,｜b｜=
.
所以S≤·.
故
≥
.
16.解 (1)依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
，
全程运输成本为y=a·+bv2·=s
∴所求函数及其定义域为y=sv∈(0，c)
(2)依题意知s、a、b、v均为正数 ∴y=s≥2s
当且仅当
=bv，即v=
时，等号成立.
若≤c，则当v=时，全程运输成本最小，最小值为2s；
若＞c，则当v∈(0，c)时，有
s
∵v∈(0，c)
∴
即a＞bc2 ∴a-bcv＞a-bc2＞0
∴s
当且仅当v=c时，等号成立，即当v=c时，全程运输成本最小，最小值为s
.
综上所述，为使全程运输成本最小，当
≤c时，行驶速度应为v=km/h；当＞c时，行驶速度为c km/h.
点评 利用平均值不等式求函数的最大值和最小值时，应注意必须具备三个条件：①都是正数；②和或积是一个常数；③这两个或三个正数可以相等.这三个条件缺一不可，本题中由v=不一定是定义域内的值，故要讨论说明.
17.解 ①∵当x是正偶数时，a<
+1恒成立,
∴a小于函数f (x)=+1在x取正偶数时的最小值.
∵函数f (x)在x为正偶数时为增函数,
∴f (x)≥f (2)=
,∴a<.
②∵当x是正奇数时，a>1-恒成立,
∴a大于函数g(x)=-+1在x取正奇数时的最大值.
∵函数g(x)在x为正奇数时为减函数,
∴g(x)≤g(1)=.∴a>.
综上，a∈
.
18.解 （1）∵方程f (x)-x=0的两根为x1、x2,
∴(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=b2-2b+1-4c.
∵x2-x1>1,∴b2-2b+1-4c>1.
∴b2>2(b+2c).
(2)∵x1是方程f (x)-x=0的根，∴x1=f (x1).
∴f (t)-x1=f (t)-f (x1)=(t-x1)(t+x1+b)=(t-x1)(t+1-x2).
∵0<t<x1,∴t-x1<0.
∵x2-x1>1,∴x1+1-x2<0.
∴t+1-x2<x1+1-x2<0.故f (t)-x1>0.
(3)∵x∈［-1,1］时，恒有f (x)≤1,
∴f (0)=c≤1,f (1)=1+b+c≤1.
∴1+b=1+b+c-c≤1+b+c+-c=1+b+c+c≤1+1=2.
19.解 (1)令y=1,则f (x+1)=f (x)+f (1)+2(x+1)+1
∴f (x+1)-f (x)=2x+4
∴当x∈N*时，有f (2)-f (1)=2×1+4
f (3)-f (2)=2×2+4,f (4)-f (3)=2×3+4.
…
f (x)-f (x-1)=2(x-1)+4.
将上面各式相加得f (x)=x2+3x-3(x∈N*).
(2)当x∈N*且x≥2时，f (x)=x2+3x-3.
要使不等式f (x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立.
即当x∈N*且x≥2时,不等式x2+3x-3≥(a+7)x-(a+10)恒成立,
即x2-4x+7≥a(x-1)恒成立
∵x≥2,∴
≥a恒成立.
又=(x-1)+
-2≥2.
(当且仅当x-1=即x=3时取“等号”)
∴的最小值是2，故a≤2.