高中毕业班质量检查数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上。
2．答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式 
，其中R表示球的半径
球的体积公式 
，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卡上相应题目答题区域内作答.
1．若全集
，则
为 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．设等比数列{an}的前三项为
，则该数列的第四项为 （ ）
A．1 B．
C．
D．
3．定义在R上的函数
，则f(x)可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．复数
（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知F1、F2是双曲线
的两个焦点，M为双曲线上的点，若
MF1⊥MF2，∠MF2F1 = 60°，则双曲线的离心率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．正三棱锥P—ABC内接于球O，球心O在底面ABC上，且
，则球的表面积为（ ）
A．
B．2 C．4 D．9
7．条件p：
，条件q：
内是增函数，则p是q的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
8．已知x、y满足约束条件
的最小值是 （ ）
A．
B．1 C．
D．
9．已知函数
的解集为 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
的反函数
的图象的对称中心为（－1，5），则实数a的值是 （ ）
A．－3 B．1 C．5 D．7
11．从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有 （ ）
A．96种 B．180种 C．240种 D．280种
12．已知函数
，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满
，若实数d 是方程
的一个解，那么下列四个判断：
①
；②
；③
；④
中有可能成立的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
|
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.
13．已知某质点的位移s与移动时间t满足
，则质点在t = 2的瞬时速度是
；
14．若
的展开式中
；
|
16．直线
相切，其中m、
，试写出所有满足条件的有序实数对(m，n)：
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答案区域内作答.
17．（本小题满分12分）
已知△ABC的面积为
（1）求
的值；
（2）求
的值.
18．（本小题满分12分）
某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可通过，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为
，且每题正确完成与否互不影响.
|
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
19．（本小题满分12分）
如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，
△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是
线段PA、PD、CD的中点.
|
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得A点到平面
EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
某个群中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1,2,…n.在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对(p，q)(p > q)表示，规则如下：若编号为k的同学看到的像为（p，q），则编号为k+1的同学看到的像为(q，r)，且q－p = k(p、q、r∈N*).已知编号为1的同学看到的像为（5，6）.
（1）请根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的像；
（2）求编号为n的同学看到的像.
21．（本小题满分12分）
已知
，记点P的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点
，使
恒成立，求实数m的值.
（ii）过P、Q作直线
的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记
，求λ的取值范围.
22．（本小题满分14分）
设x1、
的两个极值点.
（1）若
，求函数f(x)的解析式；
（2）若
的最大值；
（3）若
，求证：
高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后断部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答给分数的一半；如果后继部分的解答在较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
|
7．B 8．C 9．C 10．D 11．C 12．C
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．8 14．2 15． 16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答。
17．本小题主要考查向量的数量积、三角形面积、有关三角函数的基本知识，以及基本的计算能力，满分12分。
解：（1）
， ①…………………2分
又
，
②……………… 4分
由①、②得
……………………………………………………… 6分
（2）
……………………………………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 10分
……………………………………………………………………………12分
18．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率、统计知识分析解决实际问题的能力，满分12分。
解：（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，
则ξ取值分别为1，2，3；η取值分别为0，1，2，3 ………………………………2分
，
,
∴考生甲正确完成题数的概率分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
………………………………………………4分
………………………………………………5分
，
同理：
方法一：∴考生乙正确完成题数的概率分布列为：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
……………………………………………………………………………7分
…………………………………… 8分
方法二：同方法一得考乙正确完成题数的概率分布列为：
| η | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
………………………………………………………………………7分
∴考生乙做对题数η服从二项分布，
因此，
…………………………………………………………8分
（2）
，
（或
）
，
，
从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。
………………………………………………12分
（第（2）问4分的安排说明：①依据期望说明两人水平相当，得1分；②计算方差、依据方差说明甲稳定性好，得1分；③依据通过的概率说明甲通过的可能性大，得1分；④给出结论：甲的实验操作能力较强，再给1分，如果只回答①、②、④，也给4分）
19．本小题主要考查面关系，异面直线所成的角以及点到平面距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力。满分12分。
|
（1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH∥AD∥EF，
∴E，F，G，H四点共面. ……………………1分
又H为AB中点，
∴EH∥PB. ……………………………………2分
又EH
面EFG，PB
平面EFG，
∴PB∥平面EFG. ………………………………3分
（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，
|
所成的角.………………4分
在Rt△MAE中， 
，
同理
，…………………………5分
又GM=
，
∴在△MGE中，
………………6分
故异面直线EG与BD所成的角为arccos
，………………………………7分
（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件，
|
∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA.
又AB∩PA=A,
∴AD⊥平面PAB. ……………………………………8分
又∵E，F分别是PA，PD中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.
又EF面EFQ，
∴面EFQ⊥面PAB. …………………………………9分
过A作AT⊥ER于T，则AT⊥平面EFQ，
∴AT就是点A到平面EFQ的距离. ……………………………………………10分
设
，
在
， …………………………11分
解得
故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………… 12分
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
|
（1）证明：
…………………………1分
设
，
即
，
……………2分
，
∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 3分
（2）解：∵
,…………………………………………4分
，……………………… 6分
故异面直线EG与BD所成的角为arcos.…………………………………… 7分
（3）解：假设线段CD上存在一点Q满足题设条件，
令
∴点Q的坐标为（2－m，2，0），
………………………………………………………………8分
而
，
设平面EFQ的法向量为
，则
令
， ……………………………………………………9分
又
，
∴点A到平面EFQ的距离
，……………10分
即
，
不合题意，舍去.
故存在点Q，当CQ=时，点A到平面EFQ的距离为0.8. ……………………12分
20．本小题主要考查等差数列、递推规律的基本知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力，满分12分。
解：（1）由题意规律，编号为2的同学看到的像是（6，8）；
编号为3的同学看以的像是（8，11） ……………………………………………4分
（2）设编号为n的同学看到的像是(bn，an)，
由
，
……………………………………………………………… 5分
由题意
， 
………………………………6分
…………………………………………………… 9分
……………………………………………………11分
经检验n =1时，上式也成立
∴编号为n的同学看到的像是
…………………… 12分
21．本小题主要考查双曲线的定义与方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系、两直线垂直等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分。
解：（1）由
知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由
，故轨迹E的方程为
…………3分
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为
，与双曲线方程联立消y得
，
解得k2 >3 ………………………………………………………………………………5分
（i）
|
，
故得
对任意的
恒成立，
∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由
知结论也成立，
综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ……………………………………………………8分
（ii）
是双曲线的右准线，……………………………9分
由双曲线定义得：
，
方法一：
………10分
，…………………………………………11分
注意到直线的斜率不存在时，
，
综上，
………………………………………………………………12分
方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则
|
…………10分
由
故： ………………12分
22．本小题主要考察函数、导数、方程、不等式
等知识以及综合分析能力，满分14分。
解：
………1分
（1）
是函数f(x)的两个极值点，
………………………………………………………………2分
………………………3分
…………………………………………………………4分
（2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，
∴x1、x2是方程
的两根.
∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0对一切a > 0，
恒成立.
……………………6分
由
………………7分
………………………………………… 8分
令
在（0，4）内是增函数；
∴h (a)在（4，6）内是减函数.
∴a =
4时，h(a)有极大值为96，
上的最大值是96，
∴b的最大值是
…………………………………………………………………10分
（3）证法一：∵x1、x2是方程
的两根，
，…………………………………………………… 11分
………… 12分
……………………………………14分
证法二：∵x1、x2是方程的两根，
.…………………………………………………… 11分
∵x1 < x < x2，
………………………………………………… 12分
……………………………………………14分