第12讲 三角函数
高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
一、知识整合
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数
的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
二、高考考点分析
2004年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：
第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=
－
等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=
sin(θ+
)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=
确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析
例1．已知
，求（1）
；（2）
的值.
解：（1）
；
(2) 
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数
的值域。
解：设
，则原函数可化为
，因为
，所以
当
时，
，当
时，
，
所以，函数的值域为
。
例3．已知函数
。
（1）求
的最小正周期、的最大值及此时x的集合；
（2）证明：函数的图像关于直线
对称。
解：
(1)所以的最小正周期
，因为
，
所以，当
，即
时，最大值为
；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有
成立，
因为
，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。
例4．
已知函数y=
cos2x+
sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=
(2cos2x－1)+ +
（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+
=(cos2x·sin
+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=
+2kπ,（k∈Z），即
x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{xx=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (ωx+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y=
+1=
+1
化简得：2(y－1)tan2x－
tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：
≤y≤
∴ymax=，此时对应自变量x的值集为{xx=kπ+,k∈Z}
例5．已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解：
（Ⅰ）由
=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac
即的值域为
.
综上所述，
，
值域为 .
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例6．在
中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
，
(1)求
的值；
(2)若
，且a=c，求的面积。
解：(1)由正弦定理及，有
，
即
，所以
，
又因为
，
，所以
，因为
，所以
，又
，所以
。
(2)在中，由余弦定理可得
，又
，
所以有
，所以的面积为
。
例7．已知向量
，且
，
(1)求函数
的表达式；
(2)若
，求
的最大值与最小值。
解：(1)
，
，
，又，
所以
，
所以
，即
；
(2)由(1)可得，令导数
，解得
，列表如下：
| t | －1 | (－1，1) | 1 | (1，3) |
|
| 0 | － | 0 | + |
|
| 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
而
所以
。
例8．已知向量
，
(1) 求
的值；
(2) (2)若
的值。
解：(1)因为
所以
又因为
，所以
，
即
；
(2) 
，
又因为
，所以 
，
，所以
，所以
例9．平面直角坐标系有点
（1）
求向量
和
的夹角
的余弦用
表示的函数；
（2）
求的最值.
解：（1）
，
即 
（2）
， 又 
，
， 
， 
.
说明：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。