高考数学二轮复习解三角形考点透析
【考点聚焦】
考点1：正弦定理、余弦定理、勾股定理
考点2：面积公式、内角和定理
【考点小测】
1.（全国卷Ⅰ）在
中，已知
，给出以下四个论断： B
① 
② 
③ 
④ 
其中正确的是（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
2.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - 
= tan B,则有
（A）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0
3.（江西卷）在△OAB中，O为坐标原点，
，则当△OAB的面积达最大值时，
（ D ）
A．
B．
C．
D．
4.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，
∠B=30°，△ABC的面积为
，那么b= （ ）
A．
B．
C．
D．
5.（湖北卷）若
的内角
满足
，则
A.
B．
C．
D．
解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA>0，又
，故选A
6.（福建卷）在△ABC中，∠C=90°，
则k的值是 （ D ）
A．5 B．－5 C．
D．
7.（全国卷Ⅰ）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
，则实数m = 1
【典型考例】
【问题1】三角形内角和定理的灵活运用
例1．（2005湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
解法一 由
得
所以
即
因为
所以
，从而
由
知
从而
.
由
即
由此得
所以
解法二：由
由
、
，所以
即
由
得
所以
即 因为
，所以
由
从而，知B+2C=
不合要求.
再由
，得 所以
例2．[2007年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题]．
已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证：
； （Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
解：（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解：
，
即
，将代入上式并整理得
解得
，舍去负值得
，
设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+
. 所以AB边上的高等于2+.
【问题2】正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用
例3：在
中，
，
，
，求
的值和的面积.
解法一： 
，又
例4．．（2007年湖北文分）
在△ABC中，已知
，求△ABC的面积.
解．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，
.
故所求面积
解法3：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得
故所求面积
例5．（2005年湖北理） 在△ABC中，已知
边上的中线BD=
，求sinA的值.
解．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得： BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，
解法2：
以B为坐标原点，
轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.
解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，
过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=
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【问题3】向量与解三角形
例6．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题，本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角
取何值时
的值最大？并求出这个最大值.
21．（2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题）
本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.
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解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
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课后训练：
1．（2006全国）在
,求（1）
(2)若点
2．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30
，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
[解]
………….5分
…8分
……………………………………………………………………11分
………………14分
3．已知中,
分别是角
的对边,且
,
=
,求角A.